Номер 825, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 825, страница 328.

Условие.

825. 1) $z(2+i)-7=3i;$

2) $5i-z(3-2i)=-1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $z(2 + i) - 7 = 3i$.
Для того чтобы найти комплексное число $z$, сначала выразим член $z(2 + i)$. Перенесем $-7$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$z(2 + i) = 7 + 3i$
Теперь разделим обе части уравнения на $(2 + i)$:
$z = \frac{7 + 3i}{2 + i}$
Чтобы выполнить деление, умножим числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $2 + i$ это $2 - i$:
$z = \frac{(7 + 3i)(2 - i)}{(2 + i)(2 - i)}$
Вычислим произведение в числителе:
$(7 + 3i)(2 - i) = 7 \cdot 2 - 7 \cdot i + 3i \cdot 2 - 3i \cdot i = 14 - 7i + 6i - 3i^2$
Зная, что $i^2 = -1$, получаем:
$14 - i - 3(-1) = 14 - i + 3 = 17 - i$
Вычислим произведение в знаменателе (используя формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$):
$(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5$
Подставим полученные значения обратно в выражение для $z$:
$z = \frac{17 - i}{5}$
Представим результат в алгебраической форме $a + bi$:
$z = \frac{17}{5} - \frac{1}{5}i$
Ответ: $z = \frac{17}{5} - \frac{1}{5}i$.

2)

Дано уравнение $5i - z(3 - 2i) = -1$.
Сначала изолируем член, содержащий $z$. Перенесем $5i$ в правую часть:
$-z(3 - 2i) = -1 - 5i$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы упростить выражение:
$z(3 - 2i) = 1 + 5i$
Теперь разделим обе части на $(3 - 2i)$, чтобы найти $z$:
$z = \frac{1 + 5i}{3 - 2i}$
Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $3 - 2i$ это $3 + 2i$:
$z = \frac{(1 + 5i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)}$
Вычислим произведение в числителе:
$(1 + 5i)(3 + 2i) = 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i + 5i \cdot 3 + 5i \cdot 2i = 3 + 2i + 15i + 10i^2$
Так как $i^2 = -1$:
$3 + 17i + 10(-1) = 3 + 17i - 10 = -7 + 17i$
Вычислим произведение в знаменателе:
$(3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 - (2i)^2 = 9 - 4i^2 = 9 - 4(-1) = 9 + 4 = 13$
Подставим полученные значения:
$z = \frac{-7 + 17i}{13}$
Представим результат в алгебраической форме $a + bi$:
$z = -\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i$
Ответ: $z = -\frac{7}{13} + \frac{17}{13}i$.