Номер 818, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 818, страница 328.
№818 (с. 328)
Условие. №818 (с. 328)
скриншот условия

818. 1) $ (x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2; $
2) $ 4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2). $
Решение 1. №818 (с. 328)


Решение 2. №818 (с. 328)


Решение 3. №818 (с. 328)
1) $(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2$
Это уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $A = x^2 - x - 2$ и $B = x + 3$. Перепишем его в виде:
$(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) - 20(x + 3)^2 = 0$
Сначала проверим, является ли $x+3=0$ решением. Если $x+3=0$, то $x=-3$. Подставим это значение в исходное уравнение:
$((-3)^2 - (-3) - 2)^2 + ((-3)^2 - (-3) - 2)(-3+3) = 20(-3+3)^2$
$(9 + 3 - 2)^2 + (10)(0) = 20(0)^2$
$10^2 = 0$
$100 = 0$
Получено неверное равенство, значит $x=-3$ не является корнем уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(x+3)^2 \neq 0$.
$\frac{(x^2 - x - 2)^2}{(x + 3)^2} + \frac{(x^2 - x - 2)(x + 3)}{(x + 3)^2} - \frac{20(x + 3)^2}{(x + 3)^2} = 0$
$(\frac{x^2 - x - 2}{x + 3})^2 + (\frac{x^2 - x - 2}{x + 3}) - 20 = 0$
Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2 - x - 2}{x + 3}$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 + t - 20 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корни:
$t_1 = -5$, $t_2 = 4$
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.
Случай 1: $t = -5$
$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = -5$
$x^2 - x - 2 = -5(x + 3)$
$x^2 - x - 2 = -5x - 15$
$x^2 + 4x + 13 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$. Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.
Случай 2: $t = 4$
$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = 4$
$x^2 - x - 2 = 4(x + 3)$
$x^2 - x - 2 = 4x + 12$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Корни:
$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$
$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$
Ответ: -2; 7.
2) $4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2)$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:
$4(x^2 - 4x + 1)^2 - 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2) + 10(x - 2)^2 = 0$
Это однородное уравнение второй степени относительно выражений $A = x^2 - 4x + 1$ и $B = x - 2$.
Проверим случай $B=0$, то есть $x-2=0$, $x=2$.
$4(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)^2 - 13(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)(2 - 2) + 10(2 - 2)^2 = 0$
$4(4 - 8 + 1)^2 - 13(-3)(0) + 10(0)^2 = 0$
$4(-3)^2 = 0$
$36 = 0$
Получено неверное равенство, значит $x=2$ не является корнем. Можем разделить уравнение на $(x-2)^2 \neq 0$.
$4\frac{(x^2 - 4x + 1)^2}{(x - 2)^2} - 13\frac{(x^2 - 4x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2} + 10\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 0$
$4(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2})^2 - 13(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}) + 10 = 0$
Введем замену $t = \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}$. Получим квадратное уравнение:
$4t^2 - 13t + 10 = 0$
Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$
$t_2 = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$
Выполним обратную замену.
Случай 1: $t = \frac{5}{4}$
$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = \frac{5}{4}$
$4(x^2 - 4x + 1) = 5(x - 2)$
$4x^2 - 16x + 4 = 5x - 10$
$4x^2 - 21x + 14 = 0$
Найдем дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 441 - 224 = 217$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{217}}{8}$.
Случай 2: $t = 2$
$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = 2$
$x^2 - 4x + 1 = 2(x - 2)$
$x^2 - 4x + 1 = 2x - 4$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни:
$x_3 = 1$, $x_4 = 5$
Ответ: $1; 5; \frac{21 - \sqrt{217}}{8}; \frac{21 + \sqrt{217}}{8}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 818 расположенного на странице 328 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №818 (с. 328), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.