Номер 818, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 818, страница 328.

Условие.

818. 1) $ (x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2; $

2) $ 4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) = 20(x + 3)^2$

Это уравнение является однородным уравнением второй степени относительно выражений $A = x^2 - x - 2$ и $B = x + 3$. Перепишем его в виде:

$(x^2 - x - 2)^2 + (x^2 - x - 2)(x + 3) - 20(x + 3)^2 = 0$

Сначала проверим, является ли $x+3=0$ решением. Если $x+3=0$, то $x=-3$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-3)^2 - (-3) - 2)^2 + ((-3)^2 - (-3) - 2)(-3+3) = 20(-3+3)^2$

$(9 + 3 - 2)^2 + (10)(0) = 20(0)^2$

$10^2 = 0$

$100 = 0$

Получено неверное равенство, значит $x=-3$ не является корнем уравнения. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $(x+3)^2 \neq 0$.

$\frac{(x^2 - x - 2)^2}{(x + 3)^2} + \frac{(x^2 - x - 2)(x + 3)}{(x + 3)^2} - \frac{20(x + 3)^2}{(x + 3)^2} = 0$

$(\frac{x^2 - x - 2}{x + 3})^2 + (\frac{x^2 - x - 2}{x + 3}) - 20 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x^2 - x - 2}{x + 3}$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $-1$, а произведение равно $-20$. Корни:

$t_1 = -5$, $t_2 = 4$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

Случай 1: $t = -5$

$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = -5$

$x^2 - x - 2 = -5(x + 3)$

$x^2 - x - 2 = -5x - 15$

$x^2 + 4x + 13 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$. Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Случай 2: $t = 4$

$\frac{x^2 - x - 2}{x + 3} = 4$

$x^2 - x - 2 = 4(x + 3)$

$x^2 - x - 2 = 4x + 12$

$x^2 - 5x - 14 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$. Корни:

$x_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = 7$

Ответ: -2; 7.

2) $4(x^2 - 4x + 1)^2 + 10(x - 2)^2 = 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение:

$4(x^2 - 4x + 1)^2 - 13(x^2 - 4x + 1)(x - 2) + 10(x - 2)^2 = 0$

Это однородное уравнение второй степени относительно выражений $A = x^2 - 4x + 1$ и $B = x - 2$.

Проверим случай $B=0$, то есть $x-2=0$, $x=2$.

$4(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)^2 - 13(2^2 - 4 \cdot 2 + 1)(2 - 2) + 10(2 - 2)^2 = 0$

$4(4 - 8 + 1)^2 - 13(-3)(0) + 10(0)^2 = 0$

$4(-3)^2 = 0$

$36 = 0$

Получено неверное равенство, значит $x=2$ не является корнем. Можем разделить уравнение на $(x-2)^2 \neq 0$.

$4\frac{(x^2 - 4x + 1)^2}{(x - 2)^2} - 13\frac{(x^2 - 4x + 1)(x - 2)}{(x - 2)^2} + 10\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2} = 0$

$4(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2})^2 - 13(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}) + 10 = 0$

Введем замену $t = \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2}$. Получим квадратное уравнение:

$4t^2 - 13t + 10 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9 = 3^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$

$t_2 = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Выполним обратную замену.

Случай 1: $t = \frac{5}{4}$

$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = \frac{5}{4}$

$4(x^2 - 4x + 1) = 5(x - 2)$

$4x^2 - 16x + 4 = 5x - 10$

$4x^2 - 21x + 14 = 0$

Найдем дискриминант $D = (-21)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 14 = 441 - 224 = 217$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{21 \pm \sqrt{217}}{8}$.

Случай 2: $t = 2$

$\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 2} = 2$

$x^2 - 4x + 1 = 2(x - 2)$

$x^2 - 4x + 1 = 2x - 4$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, произведение равно 5. Корни:

$x_3 = 1$, $x_4 = 5$

Ответ: $1; 5; \frac{21 - \sqrt{217}}{8}; \frac{21 + \sqrt{217}}{8}$.