Номер 822, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 822, страница 328.

Условие.

822. Уравнение $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$ имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$. Найти третий корень этого уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения третьего корня кубического уравнения $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$, зная два его корня $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$, удобно использовать теорему Виета. Для кубического уравнения общего вида $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ с корнями $x_1$, $x_2$ и $x_3$ справедливы следующие соотношения:

• $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$
• $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}$
• $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

Наиболее простой способ найти третий корень $x_3$ — использовать формулу для произведения корней, так как она не содержит неизвестных коэффициентов $m$ и $n$.

В данном уравнении $2x^3 + mx^2 + nx + 12 = 0$ коэффициенты $a$ и $d$ равны:

$a = 2$

$d = 12$

Известные корни:

$x_1 = 1$

$x_2 = -2$

Подставим эти значения в формулу произведения корней:

$x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

$1 \cdot (-2) \cdot x_3 = -\frac{12}{2}$

Выполним вычисления:

$-2x_3 = -6$

Теперь найдем $x_3$, разделив обе части уравнения на -2:

$x_3 = \frac{-6}{-2}$

$x_3 = 3$

Ответ: 3