Номер 832, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 832, страница 328.
№832 (с. 328)
Условие. №832 (с. 328)
скриншот условия

Решить уравнение (832—835).
832. 1) $\sqrt{2x+7} = x+2$; 2) $x=2-\sqrt{2x-5}$; 3) $\sqrt{x^4-3x-1} = x^2-1$.
Решение 1. №832 (с. 328)



Решение 2. №832 (с. 328)


Решение 3. №832 (с. 328)
1) $\sqrt{2x + 7} = x + 2$
Данное иррациональное уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, требующего неотрицательности правой части:
$\begin{cases} 2x + 7 = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$
Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений для корней:
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Теперь решим уравнение:
$2x + 7 = x^2 + 4x + 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 2x + 4 - 7 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -2$.
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge -2$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2$. Следовательно, $x_2 = -3$ является посторонним корнем.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 1$.
Ответ: 1
2) $x = 2 - \sqrt{2x - 5}$
Для решения уединим радикал в одной части уравнения:
$\sqrt{2x - 5} = 2 - x$
Это уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе:
$\begin{cases} 2x - 5 = (2 - x)^2 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$
Кроме того, должно выполняться условие существования корня (область допустимых значений):
$2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.
Решим неравенство из системы:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Для существования решения необходимо, чтобы $x$ одновременно удовлетворял двум условиям: $x \ge 2.5$ и $x \le 2$. Эти два условия противоречат друг другу, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 2.5 и меньше или равно 2. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.
Можно также решить уравнение и проверить корни. Возведем в квадрат:
$2x - 5 = (2 - x)^2$
$2x - 5 = 4 - 4x + x^2$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
$(x - 3)^2 = 0$
Отсюда $x = 3$. Однако этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.
Ответ: решений нет
3) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$
Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:
$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$
Решим неравенство:
$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x - 1)(x + 1) \ge 0$
Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Теперь решим уравнение:
$x^4 - 3x - 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2$
$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$
Сократим $x^4$ в обеих частях и перенесем все члены в левую часть:
$2x^2 - 3x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$
Получаем два корня:
$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$
Проверим соответствие корней условию $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.
Корень $x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < -0.5 < 1$. Этот корень является посторонним.
Следовательно, единственным решением является $x=2$.
Ответ: 2
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 832 расположенного на странице 328 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №832 (с. 328), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.