Номер 832, страница 328 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 832, страница 328.

Условие.

Решить уравнение (832—835).

832. 1) $\sqrt{2x+7} = x+2$; 2) $x=2-\sqrt{2x-5}$; 3) $\sqrt{x^4-3x-1} = x^2-1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{2x + 7} = x + 2$

Данное иррациональное уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Такое уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением обеих частей в квадрат, и неравенства, требующего неотрицательности правой части:

$\begin{cases} 2x + 7 = (x + 2)^2 \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство, чтобы определить область допустимых значений для корней:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Теперь решим уравнение:

$2x + 7 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 2x + 4 - 7 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge -2$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 \ge -2$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию, так как $-3 < -2$. Следовательно, $x_2 = -3$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень $x = 1$.

Ответ: 1

2) $x = 2 - \sqrt{2x - 5}$

Для решения уединим радикал в одной части уравнения:

$\sqrt{2x - 5} = 2 - x$

Это уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$, которое равносильно системе:

$\begin{cases} 2x - 5 = (2 - x)^2 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases}$

Кроме того, должно выполняться условие существования корня (область допустимых значений):

$2x - 5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.

Решим неравенство из системы:

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.

Для существования решения необходимо, чтобы $x$ одновременно удовлетворял двум условиям: $x \ge 2.5$ и $x \le 2$. Эти два условия противоречат друг другу, так как нет числа, которое было бы одновременно больше или равно 2.5 и меньше или равно 2. Следовательно, система не имеет решений, а значит и исходное уравнение не имеет корней.

Можно также решить уравнение и проверить корни. Возведем в квадрат:

$2x - 5 = (2 - x)^2$

$2x - 5 = 4 - 4x + x^2$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда $x = 3$. Однако этот корень не удовлетворяет условию $x \le 2$, поэтому он является посторонним.

Ответ: решений нет

3) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим неравенство:

$x^2 - 1 \ge 0 \implies (x - 1)(x + 1) \ge 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Теперь решим уравнение:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

Сократим $x^4$ в обеих частях и перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим соответствие корней условию $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.

Корень $x_2 = -0.5$ не удовлетворяет условию, так как $-1 < -0.5 < 1$. Этот корень является посторонним.

Следовательно, единственным решением является $x=2$.

Ответ: 2