Номер 854, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 854, страница 330.

Условие.

854. 1) $1 + \log_x(5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7;$

2) $(\log_9(7 - x) + 1)\log_{3 - x} 3 = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $1 + \log_x(5 - x) = \log_7 4 \cdot \log_x 7$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице: $x > 0$, $x \ne 1$.
Аргумент логарифма $(5 - x)$ должен быть строго больше нуля: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5)$.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.
$\log_7 4 \cdot \log_x 7 = \frac{\ln 4}{\ln 7} \cdot \frac{\ln 7}{\ln x} = \frac{\ln 4}{\ln x} = \log_x 4$.
Теперь уравнение имеет вид:
$1 + \log_x(5 - x) = \log_x 4$.

Представим 1 как логарифм с основанием $x$: $1 = \log_x x$.
$\log_x x + \log_x(5 - x) = \log_x 4$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$, получаем:
$\log_x (x(5 - x)) = \log_x 4$.
Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x(5 - x) = 4$
$5x - x^2 = 4$
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения:
$x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \in (0, 1) \cup (1, 5)$).
Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, так как основание логарифма не может быть равно 1.
Корень $x_2 = 4$ входит в ОДЗ, так как $4 \in (1, 5)$.

Ответ: $4$

2) $(\log_9(7 - x) + 1)\log_{3-x} 3 = 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Из логарифма $\log_9(7 - x)$ следует, что $7 - x > 0 \implies x < 7$.
Из логарифма $\log_{3-x} 3$ следует, что основание $3-x$ должно быть больше нуля и не равно единице:
$3 - x > 0 \implies x < 3$.
$3 - x \ne 1 \implies x \ne 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$.

Преобразуем уравнение. Используем свойство $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:
$\log_{3-x} 3 = \frac{1}{\log_3 (3-x)}$.
Подставим это в исходное уравнение:
$\frac{\log_9(7 - x) + 1}{\log_3 (3 - x)} = 1$.
Отсюда следует, что $\log_9(7 - x) + 1 = \log_3 (3 - x)$. (Условие $\log_3 (3-x) \ne 0$ эквивалентно $3-x \ne 1$, то есть $x \ne 2$, что уже учтено в ОДЗ).

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$:
$\log_9(7 - x) = \log_{3^2}(7 - x) = \frac{1}{2}\log_3(7 - x)$.
Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\log_3(7 - x) + 1 = \log_3(3 - x)$.
Умножим обе части на 2:
$\log_3(7 - x) + 2 = 2\log_3(3 - x)$.
Представим $2$ как $\log_3 9$ и используем свойство $k \log_a b = \log_a b^k$:
$\log_3(7 - x) + \log_3 9 = \log_3((3 - x)^2)$.
$\log_3(9(7 - x)) = \log_3((3 - x)^2)$.

Приравниваем аргументы логарифмов:
$9(7 - x) = (3 - x)^2$
$63 - 9x = 9 - 6x + x^2$
$x^2 + 3x - 54 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3)$).
Корень $x_1 = -9$ входит в ОДЗ, так как $-9 < 2$.
Корень $x_2 = 6$ не входит в ОДЗ, так как $6 > 3$.

Ответ: $-9$