Номер 861, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 861, страница 330.

Условие.

Решить уравнение (861–876).

861.

1) $ \sin 2x = \frac{1}{2} $;

2) $ \cos 3x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $;

3) $ 2\mathrm{tg} x + 5 = 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $sin(t) = a$ записывается формулой: $t = (-1)^n arcsin(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = 2x$ и $a = \frac{1}{2}$.

Значение арксинуса: $arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

Подставляем значения в формулу:

$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in Z$.

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{(-1)^n \frac{\pi}{6}}{2} + \frac{\pi n}{2}$

$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in Z$.

2) $cos(3x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $cos(t) = a$ записывается формулой: $t = \pm arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $t = 3x$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Значение арккосинуса найдем по свойству $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:

$arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Подставляем значения в формулу:

$3x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:

$x = \frac{\pm \frac{3\pi}{4}}{3} + \frac{2\pi n}{3}$

$x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{3}$, $n \in Z$.

3) $2tgx + 5 = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить $tgx$:

$2tgx = -5$

$tgx = -\frac{5}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Общее решение для уравнения вида $tg(x) = a$ записывается формулой: $x = arctg(a) + \pi n$, где $n \in Z$.

В данном случае $a = -\frac{5}{2}$.

Подставляем значение в формулу:

$x = arctg(-\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Используя свойство нечетности арктангенса $arctg(-a) = -arctg(a)$, упростим запись:

$x = -arctg(\frac{5}{2}) + \pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = -arctg(\frac{5}{2}) + \pi n$, $n \in Z$.