Номер 864, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 864, страница 330.

Условие.

864. 1) $\sin 2x = 3\sin x \cos^2 x;$

2) $\sin 4x = \sin 2x;$

3) $\cos 2x + \cos^2 x = 0;$

4) $\sin 2x = \cos^2 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $sin2x = 3sinx \cdot cos^2x$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:

$2sinx \cdot cosx = 3sinx \cdot cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$2sinx \cdot cosx - 3sinx \cdot cos^2x = 0$

Вынесем общий множитель $sinx \cdot cosx$ за скобки:

$sinx \cdot cosx (2 - 3cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три случая:

а) $sinx = 0$

$x = \pi n, n \in Z$

б) $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

в) $2 - 3cosx = 0$

$3cosx = 2$

$cosx = \frac{2}{3}$

$x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m, m \in Z$

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m$, где $n, k, m \in Z$.

2) $sin4x = sin2x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$sin4x - sin2x = 0$

Воспользуемся формулой разности синусов $sina - sinb = 2sin(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2})$:

$2sin(\frac{4x-2x}{2})cos(\frac{4x+2x}{2}) = 0$

$2sin(x)cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $sinx = 0$

$x = \pi n, n \in Z$

б) $cos3x = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in Z$.

3) $cos2x + cos^2x = 0$

Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 2cos^2x - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $cosx$:

$(2cos^2x - 1) + cos^2x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$3cos^2x - 1 = 0$

$3cos^2x = 1$

$cos^2x = \frac{1}{3}$

Отсюда $cosx = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Решения для $cosx = \frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi n, n \in Z$.

Решения для $cosx = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi k, k \in Z$.

Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму:

$x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.

4) $sin2x = cos^2x$

Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:

$2sinx \cdot cosx = cos^2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2sinx \cdot cosx - cos^2x = 0$

Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:

$cosx(2sinx - cosx) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

а) $cosx = 0$

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$

б) $2sinx - cosx = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что если $cosx = 0$, то из этого уравнения следует, что и $sinx = 0$, что невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1$. Следовательно, $cosx \neq 0$ в этом случае, и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:

$\frac{2sinx}{cosx} - \frac{cosx}{cosx} = 0$

$2tanx - 1 = 0$

$tanx = \frac{1}{2}$

$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.