Номер 864, страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 864, страница 330.
№864 (с. 330)
Условие. №864 (с. 330)
скриншот условия

864. 1) $\sin 2x = 3\sin x \cos^2 x;$
2) $\sin 4x = \sin 2x;$
3) $\cos 2x + \cos^2 x = 0;$
4) $\sin 2x = \cos^2 x.$
Решение 1. №864 (с. 330)




Решение 2. №864 (с. 330)



Решение 3. №864 (с. 330)
1) $sin2x = 3sinx \cdot cos^2x$
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:
$2sinx \cdot cosx = 3sinx \cdot cos^2x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$2sinx \cdot cosx - 3sinx \cdot cos^2x = 0$
Вынесем общий множитель $sinx \cdot cosx$ за скобки:
$sinx \cdot cosx (2 - 3cosx) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем три случая:
а) $sinx = 0$
$x = \pi n, n \in Z$
б) $cosx = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$
в) $2 - 3cosx = 0$
$3cosx = 2$
$cosx = \frac{2}{3}$
$x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m, m \in Z$
Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; $x = \pm arccos(\frac{2}{3}) + 2\pi m$, где $n, k, m \in Z$.
2) $sin4x = sin2x$
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
$sin4x - sin2x = 0$
Воспользуемся формулой разности синусов $sina - sinb = 2sin(\frac{a-b}{2})cos(\frac{a+b}{2})$:
$2sin(\frac{4x-2x}{2})cos(\frac{4x+2x}{2}) = 0$
$2sin(x)cos(3x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
а) $sinx = 0$
$x = \pi n, n \in Z$
б) $cos3x = 0$
$3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in Z$
Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in Z$.
3) $cos2x + cos^2x = 0$
Используем формулу косинуса двойного угла $cos2x = 2cos^2x - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $cosx$:
$(2cos^2x - 1) + cos^2x = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$3cos^2x - 1 = 0$
$3cos^2x = 1$
$cos^2x = \frac{1}{3}$
Отсюда $cosx = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Решения для $cosx = \frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi n, n \in Z$.
Решения для $cosx = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ это $x = \pm arccos(-\frac{1}{\sqrt{3}}) + 2\pi k, k \in Z$.
Эти две серии решений можно объединить в одну более компактную форму:
$x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.
Ответ: $x = \pm arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) + \pi m, m \in Z$.
4) $sin2x = cos^2x$
Применим формулу синуса двойного угла $sin2x = 2sinx \cdot cosx$:
$2sinx \cdot cosx = cos^2x$
Перенесем все члены в левую часть:
$2sinx \cdot cosx - cos^2x = 0$
Вынесем общий множитель $cosx$ за скобки:
$cosx(2sinx - cosx) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
а) $cosx = 0$
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$
б) $2sinx - cosx = 0$
Это однородное тригонометрическое уравнение. Заметим, что если $cosx = 0$, то из этого уравнения следует, что и $sinx = 0$, что невозможно, так как $sin^2x + cos^2x = 1$. Следовательно, $cosx \neq 0$ в этом случае, и мы можем разделить обе части уравнения на $cosx$:
$\frac{2sinx}{cosx} - \frac{cosx}{cosx} = 0$
$2tanx - 1 = 0$
$tanx = \frac{1}{2}$
$x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in Z$
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$; $x = arctg(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $n, k \in Z$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 864 расположенного на странице 330 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №864 (с. 330), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.