Номер 871, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 871, страница 331.

Условие.

871. 1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x;$

2) $\cos 7x - \cos 3x = 3\sin 5x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем:

$(\sin 5x + \sin x) - \sin 3x = 0$

Применим формулу суммы синусов для выражения в скобках: $\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2\sin\frac{5x+x}{2}\cos\frac{5x-x}{2} - \sin 3x = 0$

$2\sin 3x \cos 2x - \sin 3x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin 3x$ за скобки:

$\sin 3x (2\cos 2x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin 3x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$3x = k\pi$, где $k \in Z$ (Z - множество целых чисел).

$x = \frac{k\pi}{3}, k \in Z$.

б) $2\cos 2x - 1 = 0$

$2\cos 2x = 1$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2n\pi$, где $n \in Z$.

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi, n \in Z$.

Объединяя решения из пунктов а) и б), получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{k\pi}{3}; x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi$, где $k, n \in Z$.

2) $\cos 7x - \cos 3x = 3\sin 5x$

Применим к левой части уравнения формулу разности косинусов: $\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$-2\sin\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2} = 3\sin 5x$

$-2\sin 5x \sin 2x = 3\sin 5x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$-2\sin 5x \sin 2x - 3\sin 5x = 0$

Вынесем общий множитель $-\sin 5x$ за скобки:

$-\sin 5x (2\sin 2x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

а) $\sin 5x = 0$

Решение имеет вид:

$5x = k\pi$, где $k \in Z$.

$x = \frac{k\pi}{5}, k \in Z$.

б) $2\sin 2x + 3 = 0$

$2\sin 2x = -3$

$\sin 2x = -\frac{3}{2}$

$\sin 2x = -1.5$

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как область значений функции синус $[-1; 1]$, а $-1.5$ не входит в этот промежуток.

Таким образом, решением исходного уравнения является только серия корней из пункта а).

Ответ: $x = \frac{k\pi}{5}, k \in Z$.