Номер 872, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 872, страница 331.
№872 (с. 331)
Условие. №872 (с. 331)
скриншот условия

872. 1) $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x; $
2) $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x. $
Решение 1. №872 (с. 331)


Решение 2. №872 (с. 331)


Решение 3. №872 (с. 331)
1)
Дано уравнение: $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x $.
Для решения этого уравнения преобразуем произведения синусов и косинусов в сумму с помощью формулы: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Применим эту формулу к обеим частям уравнения.
Левая часть: $ \sin 9x \cos x = \frac{1}{2}(\sin(9x + x) + \sin(9x - x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) $.
Правая часть: $ \sin 7x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(7x + 3x) + \sin(7x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $.
Теперь приравняем полученные выражения:
$ \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $
Умножим обе части уравнения на 2:
$ \sin 10x + \sin 8x = \sin 10x + \sin 4x $
Вычтем $ \sin 10x $ из обеих частей:
$ \sin 8x = \sin 4x $
Перенесем все члены в левую часть:
$ \sin 8x - \sin 4x = 0 $
Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.
$ 2 \sin\frac{8x - 4x}{2} \cos\frac{8x + 4x}{2} = 0 $
$ 2 \sin 2x \cos 6x = 0 $
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
1. $ \sin 2x = 0 $
Решением этого уравнения является серия: $ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos 6x = 0 $
Решением этого уравнения является серия: $ 6x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Обе серии корней являются решением исходного уравнения.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \; x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.
2)
Дано уравнение: $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x $.
Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.
Левая часть: $ \sin x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(x + 5x) + \sin(x - 5x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x + \sin(-4x)) $.
Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-u) = -\sin u $), получаем: $ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) $.
Правая часть: $ \sin 9x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(9x + 3x) + \sin(9x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $.
Приравниваем преобразованные части:
$ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $
Умножим обе части на 2:
$ \sin 6x - \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x $
Вычтем $ \sin 6x $ из обеих частей:
$ -\sin 4x = \sin 12x $
Перенесем все в одну сторону:
$ \sin 12x + \sin 4x = 0 $
Теперь применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ 2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0 $
$ 2 \sin 8x \cos 4x = 0 $
Это уравнение распадается на два:
1. $ \sin 8x = 0 $
$ 8x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
2. $ \cos 4x = 0 $
$ 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Проанализируем полученные решения. Вторую серию можно представить в виде $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2n\pi}{8} = \frac{(2n+1)\pi}{8} $. Эта серия задает все нечетные кратные $ \frac{\pi}{8} $. Первая же серия, $ x = \frac{k\pi}{8} $, задает все целые кратные $ \frac{\pi}{8} $ (и четные, и нечетные). Таким образом, вторая серия решений является подмножеством первой. Поэтому для полного ответа достаточно указать только первую, более общую, серию.
Ответ: $ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 872 расположенного на странице 331 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №872 (с. 331), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.