Номер 872, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 872, страница 331.

Условие.

872. 1) $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x; $

2) $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение: $ \cos x \sin 9x = \cos 3x \sin 7x $.

Для решения этого уравнения преобразуем произведения синусов и косинусов в сумму с помощью формулы: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Применим эту формулу к обеим частям уравнения.

Левая часть: $ \sin 9x \cos x = \frac{1}{2}(\sin(9x + x) + \sin(9x - x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) $.

Правая часть: $ \sin 7x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(7x + 3x) + \sin(7x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $.

Теперь приравняем полученные выражения:

$ \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 8x) = \frac{1}{2}(\sin 10x + \sin 4x) $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ \sin 10x + \sin 8x = \sin 10x + \sin 4x $

Вычтем $ \sin 10x $ из обеих частей:

$ \sin 8x = \sin 4x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ \sin 8x - \sin 4x = 0 $

Воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cos\frac{\alpha + \beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{8x - 4x}{2} \cos\frac{8x + 4x}{2} = 0 $

$ 2 \sin 2x \cos 6x = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:

1. $ \sin 2x = 0 $

Решением этого уравнения является серия: $ 2x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{k\pi}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos 6x = 0 $

Решением этого уравнения является серия: $ 6x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Обе серии корней являются решением исходного уравнения.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{2}, \; x = \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{6} $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2)

Дано уравнение: $ \sin x \cos 5x = \sin 9x \cos 3x $.

Как и в предыдущем задании, воспользуемся формулой преобразования произведения в сумму: $ \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

Левая часть: $ \sin x \cos 5x = \frac{1}{2}(\sin(x + 5x) + \sin(x - 5x)) = \frac{1}{2}(\sin 6x + \sin(-4x)) $.

Поскольку синус — нечетная функция ($ \sin(-u) = -\sin u $), получаем: $ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) $.

Правая часть: $ \sin 9x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(9x + 3x) + \sin(9x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $.

Приравниваем преобразованные части:

$ \frac{1}{2}(\sin 6x - \sin 4x) = \frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 6x) $

Умножим обе части на 2:

$ \sin 6x - \sin 4x = \sin 12x + \sin 6x $

Вычтем $ \sin 6x $ из обеих частей:

$ -\sin 4x = \sin 12x $

Перенесем все в одну сторону:

$ \sin 12x + \sin 4x = 0 $

Теперь применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2} \cos\frac{\alpha - \beta}{2} $.

$ 2 \sin\frac{12x + 4x}{2} \cos\frac{12x - 4x}{2} = 0 $

$ 2 \sin 8x \cos 4x = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1. $ \sin 8x = 0 $

$ 8x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2. $ \cos 4x = 0 $

$ 4x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Проанализируем полученные решения. Вторую серию можно представить в виде $ x = \frac{\pi}{8} + \frac{2n\pi}{8} = \frac{(2n+1)\pi}{8} $. Эта серия задает все нечетные кратные $ \frac{\pi}{8} $. Первая же серия, $ x = \frac{k\pi}{8} $, задает все целые кратные $ \frac{\pi}{8} $ (и четные, и нечетные). Таким образом, вторая серия решений является подмножеством первой. Поэтому для полного ответа достаточно указать только первую, более общую, серию.

Ответ: $ x = \frac{k\pi}{8} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.