Номер 877, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 877, страница 331.

Условие.

877. Решить графически уравнение:

1) $\cos x = 3x - 1$

2) $\sin x = 0.5x^3$

3) $\cos x = \sqrt{x}$

4) $\cos x = x^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решить графически уравнение $cos x = 3x - 1$.

Для решения этого уравнения построим в одной системе координат графики двух функций: $y = \cos x$ и $y = 3x - 1$. Координаты $x$ точек пересечения этих графиков будут являться решениями исходного уравнения.

1. График функции $y = \cos x$ – это косинусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$. Область значений этой функции – отрезок $[-1, 1]$.

2. График функции $y = 3x - 1$ – это прямая линия. Для ее построения найдем две точки:

• при $x = 0$, $y = 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• при $x = 1/3$, $y = 3(1/3) - 1 = 0$. Точка $(1/3, 0)$.

Построим эскизы графиков. Так как значения функции $y = \cos x$ не могут быть больше 1 и меньше -1, то точки пересечения могут существовать только там, где $-1 \le 3x - 1 \le 1$. Решим это двойное неравенство:

$0 \le 3x \le 2$

$0 \le x \le 2/3$

Значит, корень уравнения (если он есть) находится на отрезке $[0, 2/3]$.

На этом отрезке функция $y = \cos x$ убывает (от $\cos 0 = 1$ до $\cos(2/3) \approx 0.78$), а функция $y = 3x - 1$ возрастает (от $-1$ до $1$). Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает на рассматриваемом интервале, они могут пересечься не более одного раза.

Проверим значения на концах отрезка:

• При $x=0$: $\cos(0) = 1$, а $3(0)-1 = -1$. График косинуса выше.
• При $x=2/3$: $\cos(2/3) \approx 0.78$, а $3(2/3)-1 = 1$. График прямой выше.

Поскольку на одном конце отрезка график косинуса выше, а на другом — ниже, то графики обязательно пересекутся внутри этого отрезка. Из графика видно, что точка пересечения одна. Ее абсцисса $x$ и есть решение уравнения. Приблизительное значение можно найти, подставив $x \approx 0.6$. $\cos(0.6) \approx 0.825$, а $3(0.6)-1 = 0.8$. Значения близки, так что $x \approx 0.6$ является хорошим приближением.

Ответ: $x \approx 0.6$.

2) Решить графически уравнение $\sin x = 0,5x^3$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \sin x$ и $y = 0.5x^3$.

1. График функции $y = \sin x$ – это синусоида, периодическая функция с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$. Функция является нечетной ($\sin(-x) = -\sin x$).

2. График функции $y = 0.5x^3$ – это кубическая парабола. Она проходит через начало координат $(0, 0)$ и также является нечетной ($0.5(-x)^3 = -0.5x^3$).

Поскольку обе функции нечетные и проходят через начало координат, точка $(0,0)$ является точкой их пересечения, следовательно, $x=0$ – один из корней уравнения.

Из-за нечетности обеих функций их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому, если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Достаточно найти положительные корни.

Ищем корни при $x > 0$. Значения функции $y = \sin x$ лежат в пределах $[-1, 1]$, поэтому нас интересуют значения $x$, для которых $|0.5x^3| \le 1$, что дает $x^3 \le 2$, или $x \le \sqrt[3]{2} \approx 1.26$.

Рассмотрим поведение функций при $x > 0$. При малых $x$ (вблизи нуля) $\sin x \approx x$, а $0.5x^3$ растет медленнее, чем $x$. Поэтому сразу после нуля график синуса лежит выше графика кубической параболы. Однако при $x = \sqrt[3]{2}$, $\sin(\sqrt[3]{2}) \approx \sin(1.26) \approx 0.95$, а $0.5(\sqrt[3]{2})^3 = 1$. Здесь график параболы уже выше. Это означает, что на интервале $(0, \sqrt[3]{2})$ есть точка пересечения.

Из эскиза графиков видно, что кроме $x=0$, есть еще две симметричные точки пересечения. Положительный корень находится между 1 и 1.26. Подбирая значение, находим $x \approx 1.2$.

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 \approx 1.2, x_3 \approx -1.2$.

3) Решить графически уравнение $\cos x = \sqrt{x}$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = \sqrt{x}$.

1. График функции $y = \cos x$ – косинусоида.

2. График функции $y = \sqrt{x}$ – ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Область определения функции $x \ge 0$.

Так как область определения $y = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$, решения могут быть только неотрицательными. Также, $\sqrt{x} \ge 0$, поэтому $\cos x$ тоже должен быть неотрицательным. Кроме того, значения $\cos x$ не превышают 1, поэтому $\sqrt{x} \le 1$, что означает $x \le 1$. Таким образом, решение должно находиться на отрезке $[0, 1]$.

На отрезке $[0, 1]$ функция $y = \cos x$ является убывающей (от $\cos 0 = 1$ до $\cos 1 \approx 0.54$). Функция $y = \sqrt{x}$ на этом же отрезке является возрастающей (от $\sqrt{0} = 0$ до $\sqrt{1} = 1$).

Поскольку на отрезке $[0, 1]$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. При $x=0$, $\cos 0 = 1$, а $\sqrt{0} = 0$. График косинуса выше. При $x=1$, $\cos 1 \approx 0.54$, а $\sqrt{1} = 1$. График корня выше. Следовательно, на интервале $(0, 1)$ существует ровно одна точка пересечения.

Из графика видно, что абсцисса точки пересечения примерно равна $x \approx 0.65$.

Ответ: $x \approx 0.65$.

4) Решить графически уравнение $\cos x = x^2$.

Построим в одной системе координат графики функций $y = \cos x$ и $y = x^2$.

1. График функции $y = \cos x$ – косинусоида. Это четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy.

2. График функции $y = x^2$ – парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Это также четная функция, ее график симметричен относительно оси Oy.

Поскольку обе функции четные, если $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем. Поэтому достаточно найти решения для $x \ge 0$.

Ищем решения при $x \ge 0$. Так как значения $\cos x$ не превышают 1, то и $x^2 \le 1$, что для $x \ge 0$ дает $0 \le x \le 1$.

Рассмотрим отрезок $[0, 1]$. При $x=0$: $\cos 0 = 1$, а $0^2 = 0$. График косинуса выше. При $x=1$: $\cos 1 \approx 0.54$, а $1^2 = 1$. График параболы выше.

На интервале $(0, 1)$ функция $y=\cos x$ убывает, а функция $y=x^2$ возрастает. Следовательно, на этом интервале они пересекаются ровно один раз.

Из графика видно, что есть одна точка пересечения для $x > 0$. Ее абсцисса $x \approx 0.82$. В силу симметрии графиков относительно оси Oy, существует и вторая точка пересечения с абсциссой $x \approx -0.82$. Всего два решения.

Ответ: $x_1 \approx 0.82, x_2 \approx -0.82$.