Номер 883, страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 883, страница 331.

Условие.

883. Найти все корни уравнения $\sin^4 x + \sin^4 \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin^2 \frac{25\pi}{6}$,

удовлетворяющие неравенству $\lg(x - \sqrt{2x + 23}) > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно решить тригонометрическое уравнение, а затем из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют логарифмическому неравенству.

1. Решение уравнения $ \sin^4 x + \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = \sin^2 \frac{25\pi}{6} $

Сначала упростим правую часть уравнения.
$ \sin \frac{25\pi}{6} = \sin(4\pi + \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.
Следовательно, $ \sin^2 \frac{25\pi}{6} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $.
Уравнение принимает вид: $ \sin^4 x + \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4} $.

Теперь преобразуем левую часть, используя формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $.
$ \sin^4 x = (\sin^2 x)^2 = (\frac{1 - \cos(2x)}{2})^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} $.
Для второго слагаемого: $ \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1 - \cos(2(x + \frac{\pi}{4}))}{2})^2 = (\frac{1 - \cos(2x + \frac{\pi}{2})}{2})^2 $.
Используя формулу приведения $ \cos(2x + \frac{\pi}{2}) = -\sin(2x) $, получаем:
$ \sin^4(x + \frac{\pi}{4}) = (\frac{1 - (-\sin(2x))}{2})^2 = (\frac{1 + \sin(2x)}{2})^2 = \frac{1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x)}{4} $.

Подставим полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} + \frac{1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4} $.
Умножим обе части на 4:
$ 1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x) + 1 + 2\sin(2x) + \sin^2(2x) = 1 $.
Сгруппируем слагаемые и используем основное тригонометрическое тождество $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $:
$ 2 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) + (\sin^2(2x) + \cos^2(2x)) = 1 $.
$ 2 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) + 1 = 1 $.
$ 3 + 2\sin(2x) - 2\cos(2x) = 1 $.
$ 2\sin(2x) - 2\cos(2x) = -2 $.
$ \cos(2x) - \sin(2x) = 1 $.

Для решения уравнения вида $ a\cos\alpha + b\sin\alpha = c $ применим метод вспомогательного угла. Умножим обе части на $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
$ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Заменим $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $:
$ \cos\frac{\pi}{4}\cos(2x) - \sin\frac{\pi}{4}\sin(2x) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
По формуле косинуса суммы $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $:
$ \cos(2x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Это уравнение распадается на два семейства решений:
1) $ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
2) $ 2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: Корнями уравнения являются $ x = \pi k $ и $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2. Решение неравенства $ \lg(x - \sqrt{2x + 23}) > 0 $

По определению десятичного логарифма, неравенство $ \lg(A) > 0 $ равносильно системе:
$ \begin{cases} A > 1 \\ \end{cases} $
В нашем случае $ A = x - \sqrt{2x + 23} $, поэтому получаем:
$ x - \sqrt{2x + 23} > 1 $.
Перенесем 1 в левую часть:
$ x - 1 > \sqrt{2x + 23} $.

Данное иррациональное неравенство равносильно системе:
$ \begin{cases} 2x + 23 \geq 0 & \text{(подкоренное выражение неотрицательно)} \\ x - 1 > 0 & \text{(левая часть больше правой, которая неотрицательна)} \\ (x - 1)^2 > 2x + 23 & \text{(возведение в квадрат обеих частей)} \end{cases} $

Решим систему:
1) $ 2x + 23 \geq 0 \implies 2x \geq -23 \implies x \geq -11.5 $.
2) $ x - 1 > 0 \implies x > 1 $.
3) $ x^2 - 2x + 1 > 2x + 23 \implies x^2 - 4x - 22 > 0 $.

Найдем корни квадратного трехчлена $ x^2 - 4x - 22 = 0 $:
$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 16 + 88 = 104 $.
$ x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 2 \pm \sqrt{26} $.
Решением неравенства $ x^2 - 4x - 22 > 0 $ является $ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) \cup (2 + \sqrt{26}; +\infty) $.

Теперь найдем пересечение решений всех трех условий:
$ \begin{cases} x \geq -11.5 \\ x > 1 \\ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) \cup (2 + \sqrt{26}; +\infty) \end{cases} $
Оценим значения корней: $ 5 < \sqrt{26} < 6 $, поэтому $ 2 - \sqrt{26} < 0 $ и $ 2 + \sqrt{26} > 7 $.
Условие $ x \in (-\infty; 2 - \sqrt{26}) $ несовместимо с $ x > 1 $.
Таким образом, решением системы является $ x > 2 + \sqrt{26} $.

Ответ: Решением неравенства является $ x \in (2 + \sqrt{26}; +\infty) $.

3. Отбор корней

Найдем те корни уравнения, которые удовлетворяют условию $ x > 2 + \sqrt{26} $.
Оценим правую часть: $ \sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{36} $, т.е. $ 5 < \sqrt{26} < 6 $.
$ 2 + 5 < 2 + \sqrt{26} < 2 + 6 $, то есть $ 7 < 2 + \sqrt{26} < 8 $.
Используем также $ \pi \approx 3.14 $.

Рассмотрим первую серию корней $ x = \pi k $:
$ \pi k > 2 + \sqrt{26} $.
$ k > \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} $.
Поскольку $ 7 < 2 + \sqrt{26} < 8 $ и $ \pi \approx 3.14 $, то $ \frac{7}{3.14} < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < \frac{8}{3.14} $, что дает $ 2.23 < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < 2.55 $.
Так как $ k $ — целое число, то наименьшее значение $ k $, удовлетворяющее этому условию, равно 3.
Следовательно, подходят корни $ x = \pi k $ при $ k \in \mathbb{Z}, k \geq 3 $.

Рассмотрим вторую серию корней $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $:
$ -\frac{\pi}{4} + \pi n > 2 + \sqrt{26} $.
$ \pi n > 2 + \sqrt{26} + \frac{\pi}{4} $.
$ n > \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} + \frac{1}{4} $.
Используя полученную ранее оценку, $ 2.23 < \frac{2 + \sqrt{26}}{\pi} < 2.55 $.
$ 2.23 + 0.25 < n < 2.55 + 0.25 $, то есть $ 2.48 < n < 2.8 $.
Так как $ n $ — целое число, то наименьшее значение $ n $, удовлетворяющее этому условию, равно 3.
Следовательно, подходят корни $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n $ при $ n \in \mathbb{Z}, n \geq 3 $.

Ответ: $ \pi k, k \in \mathbb{Z}, k \geq 3 $; $ -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}, n \geq 3 $.