Номер 889, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 889, страница 332.

Условие.

889. 1) $8x^2 - 2x - 1 < 0$;

2) $5x^2 + 7x \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим квадратное неравенство $8x^2 - 2x - 1 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 2x - 1 = 0$.
Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=8$, $b=-2$, $c=-1$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 8x^2 - 2x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=8 > 0$.
Парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках $x = -1/4$ и $x = 1/2$.
Неравенство $8x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется на том интервале, где график параболы расположен ниже оси абсцисс.
Для параболы с ветвями вверх это интервал между корнями.
Так как неравенство строгое ($<$), сами корни в решение не включаются.
Следовательно, решением является интервал $(-1/4; 1/2)$.

Ответ: $x \in (-1/4; 1/2)$.

2) Решим квадратное неравенство $5x^2 + 7x \le 0$.

Найдем корни соответствующего неполного квадратного уравнения $5x^2 + 7x = 0$.
Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x_2 = -7/5 = -1.4$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 + 7x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=5 > 0$.
Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -7/5$ и $x = 0$.
Неравенство $5x^2 + 7x \le 0$ выполняется на том промежутке, где график параболы расположен ниже или на оси абсцисс.
Для параболы с ветвями вверх это промежуток между корнями, включая сами корни.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.
Следовательно, решением является отрезок $[-7/5; 0]$.

Ответ: $x \in [-7/5; 0]$.