Номер 891, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 891, страница 332.

Условие.

891. 1) $\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \ge 0;$

2) $\frac{x - 1}{x^2 + 4x + 2} < 0;$

3) $\frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 2x - 3} > 0;$

4) $\frac{(x - 5)\left(\frac{1}{2^{x-1}} + 0,2\right)}{x + 2} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\frac{3x-15}{x^2+5x-14} \geq 0$ методом интервалов.
Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x-15 = 0 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$. Так как неравенство нестрогое, эта точка будет входить в решение.
Нули знаменателя: $x^2+5x-14=0$. Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5-9}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-5+9}{2} = 2$
Эти точки не входят в область определения, поэтому они будут выколотыми на числовой оси.
Перепишем неравенство в виде: $\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)} \geq 0$.
Нанесем точки -7, 2 и 5 на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале.

- Интервал $(-\infty; -7)$: возьмем $x=-8$, $\frac{3(-)}{(-)(-)} = -$.
- Интервал $(-7; 2)$: возьмем $x=0$, $\frac{3(-)}{(+)(-)} = +$.
- Интервал $(2; 5]$: возьмем $x=3$, $\frac{3(-)}{(+)(+)} = -$.
- Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{3(+)}{(+)(+)} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-7; 2) \cup [5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-1}{x^2+4x+2} < 0$.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Нули знаменателя: $x^2+4x+2=0$. Найдем корни: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$x_1 = \frac{-4-\sqrt{8}}{2} = \frac{-4-2\sqrt{2}}{2} = -2-\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-4+\sqrt{8}}{2} = \frac{-4+2\sqrt{2}}{2} = -2+\sqrt{2}$
Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Перепишем неравенство: $\frac{x-1}{(x - (-2-\sqrt{2}))(x - (-2+\sqrt{2}))} < 0$.
Нанесем точки $-2-\sqrt{2} \approx -3.41$, $-2+\sqrt{2} \approx -0.59$ и $1$ на числовую ось.

- Интервал $(-\infty; -2-\sqrt{2})$: возьмем $x=-4$, $\frac{-}{(-)(-)_ \text{знаменатель } 16-16+2>0} = \frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(-2-\sqrt{2}; -2+\sqrt{2})$: возьмем $x=-1$, $\frac{-}{1-4+2} = \frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(-2+\sqrt{2}; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{+}{4+8+2} = \frac{+}{+} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -2-\sqrt{2}) \cup (-2+\sqrt{2}; 1)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2=2$. Тогда $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.
Знаменатель: $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2=3$. Тогда $x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x-3)} > 0$.
Нули выражения: -4, -1, 2, 3. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки.

- Интервал $(-\infty; -4)$: возьмем $x=-5$, $\frac{(-)(-)_ \text{}}{(-)(-)_ \text{}} = \frac{+}{+} = +$.
- Интервал $(-4; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{(+)(-)_ \text{}}{(-)(-)_ \text{}} = \frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(-1; 2)$: возьмем $x=0$, $\frac{(+)(-)_ \text{}}{(+)(-)_ \text{}} = \frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$, $\frac{(+)(+)_ \text{}}{(+)(-)_ \text{}} = \frac{+}{-} = -$.
- Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$, $\frac{(+)(+)_ \text{}}{(+)(+)_ \text{}} = \frac{+}{+} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-5)(2^{\frac{1}{x-1}}+0,2)}{x+2} \leq 0$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби в показателе степени не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Знаменатель основной дроби не должен быть равен нулю: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Рассмотрим множитель $(2^{\frac{1}{x-1}}+0,2)$.
Показательная функция $a^y$ всегда положительна ($a^y > 0$) для любого действительного $y$ при $a>0$.
Следовательно, $2^{\frac{1}{x-1}} > 0$.
Тогда сумма $2^{\frac{1}{x-1}}+0,2$ всегда больше нуля.
Так как этот множитель всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака.
Неравенство упрощается до: $\frac{x-5}{x+2} \leq 0$.
Решим его методом интервалов.
Нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Точка входит в решение (нестрогое неравенство).
Нуль знаменателя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Точка не входит в решение (ОДЗ).
Нанесем точки -2 (выколотая) и 5 (закрашенная) на числовую ось.

- Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(-2; 5]$: возьмем $x=0$, $\frac{-}{+} = -$.
- Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{+}{+} = +$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю: $(-2; 5]$.
Теперь учтем первоначальное ограничение из ОДЗ: $x \neq 1$.
Точка $x=1$ лежит внутри найденного интервала $(-2; 5]$, поэтому ее нужно исключить.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (1; 5]$.