Номер 892, страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 892, страница 332.

Условие.

892. 1) $|2x - 5| \le 3;$

2) $|5x - 9| > 4;$

3) $|2 - 3x| < x + 1;$

4) $|1 + 2x| \ge 3 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $|2x-5| \le 3$.

Данное неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $a$ - положительное число, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применим это правило к нашему случаю:

$-3 \le 2x - 5 \le 3$

Чтобы выделить $x$, прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 2x - 5 + 5 \le 3 + 5$

$2 \le 2x \le 8$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{8}{2}$

$1 \le x \le 4$

Решением является числовой промежуток, включающий концы.

Ответ: $x \in [1, 4]$.

2) Решим неравенство $|5x-9| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a$ - положительное число, равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В нашем случае получаем совокупность:

$5x - 9 > 4$ или $5x - 9 < -4$.

Решим первое неравенство:

$5x > 4 + 9$

$5x > 13$

$x > \frac{13}{5}$

Решим второе неравенство:

$5x < -4 + 9$

$5x < 5$

$x < 1$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{13}{5}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $|2-3x| < x+1$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе (пересечению) двух неравенств $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

Заметим, что левая часть неравенства $|2-3x|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть должна быть строго положительной: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - 3x < x + 1 \\ 2 - 3x > -(x + 1) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$2 - 1 < x + 3x$

$1 < 4x$

$x > \frac{1}{4}$

Решим второе неравенство системы:

$2 - 3x > -x - 1$

$2 + 1 > 3x - x$

$3 > 2x$

$x < \frac{3}{2}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{1}{4}$, $x < \frac{3}{2}$ и $x > -1$. Общим решением является интервал, где все три условия выполняются одновременно.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{2})$.

4) Решим неравенство $|1+2x| \ge 3-x$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

В нашем случае получаем совокупность:

$1 + 2x \ge 3 - x$ или $1 + 2x \le -(3 - x)$.

Решим первое неравенство:

$2x + x \ge 3 - 1$

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:

$1 + 2x \le -3 + x$

$2x - x \le -3 - 1$

$x \le -4$

Объединение решений этих двух неравенств ($x \le -4$ или $x \ge \frac{2}{3}$) дает итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.