Страница 332 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

884. Найти наибольший на интервале $ \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{2}\right) $ корень уравнения $ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0. $

Для решения задачи сначала упростим данное тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(5x + \frac{\pi}{2}\right) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$

Используем формулу приведения $ \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\alpha $. Применив ее к первому члену уравнения, получим:

$$ -\sin(5x) + 2\sin x \cos 2x = 0 $$

Теперь преобразуем произведение $ 2\sin x \cos 2x $ в сумму с помощью формулы $ 2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B) $:

$$ 2\sin x \cos 2x = \sin(x+2x) + \sin(x-2x) = \sin(3x) + \sin(-x) = \sin(3x) - \sin x $$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$$ -\sin(5x) + (\sin(3x) - \sin x) = 0 $$

Умножим обе части на -1 и перегруппируем слагаемые:

$$ \sin(5x) - \sin(3x) + \sin x = 0 $$

$$ (\sin(5x) + \sin x) - \sin(3x) = 0 $$

Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ к выражению в скобках:

$$ 2\sin\left(\frac{5x+x}{2}\right)\cos\left(\frac{5x-x}{2}\right) - \sin(3x) = 0 $$

$$ 2\sin(3x)\cos(2x) - \sin(3x) = 0 $$

Вынесем общий множитель $ \sin(3x) $ за скобку:

$$ \sin(3x)(2\cos(2x) - 1) = 0 $$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $ \sin(3x) = 0 $

2) $ 2\cos(2x) - 1 = 0 \implies \cos(2x) = \frac{1}{2} $

Найдем общие решения для каждого уравнения.

Для первого уравнения $ \sin(3x) = 0 $:

$$ 3x = \pi n, \text{ где } n \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \frac{\pi n}{3} $$

Для второго уравнения $ \cos(2x) = \frac{1}{2} $:

$$ 2x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $$

$$ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $$

Теперь необходимо отобрать корни, принадлежащие интервалу $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.

Рассмотрим серию корней $ x = \frac{\pi n}{3} $:

При $ n = -1 $, $ x = -\frac{\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{3} < -\frac{\pi}{6} $.

При $ n = 0 $, $ x = 0 $. Этот корень входит в интервал $ \left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right) $.

При $ n = 1 $, $ x = \frac{\pi}{3} $. Этот корень входит в интервал, так как $ -\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} $.

При $ n = 2 $, $ x = \frac{2\pi}{3} $. Этот корень не входит в интервал, так как $ \frac{2\pi}{3} > \frac{\pi}{2} $.

Рассмотрим серии корней $ x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k $:

Для $ x = \frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него, так как интервал строгий (открытый). Другие значения $k$ дают корни за пределами интервала.

Для $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi k $: при $ k = 0 $, $ x = -\frac{\pi}{6} $. Этот корень является границей интервала и не входит в него. При $ k = 1 $, $ x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} $, что выходит за пределы интервала.

Таким образом, в заданном интервале находятся два корня: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = \frac{\pi}{3} $.

Требуется найти наибольший корень. Сравнивая $ 0 $ и $ \frac{\pi}{3} $, получаем, что наибольшим корнем является $ \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $

885. Найти все значения $a$, при которых уравнение $sin^8 x + cos^8 x = a$ имеет корни, и решить это уравнение.

Найти все значения a, при которых уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ имеет корни

Уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда значение параметра $a$ принадлежит множеству значений функции $f(x) = \sin^8 x + \cos^8 x$. Найдем это множество значений.

Для преобразования выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Пусть $s = \sin^2 x$ и $c = \cos^2 x$. Тогда $s+c=1$, и поскольку $s$ и $c$ являются квадратами синуса и косинуса, их значения лежат в отрезке $[0, 1]$.

Исходное уравнение принимает вид $s^4 + c^4 = a$.

Выразим $s^4+c^4$ через $s+c$ и произведение $sc$:

$s^4 + c^4 = (s^2+c^2)^2 - 2s^2c^2 = \left((s+c)^2 - 2sc\right)^2 - 2(sc)^2$.

Подставляя $s+c=1$, получаем:

$a = (1-2sc)^2 - 2(sc)^2 = 1 - 4sc + 4(sc)^2 - 2(sc)^2 = 2(sc)^2 - 4sc + 1$.

Обозначим $t = sc = \sin^2 x \cos^2 x$. Тогда выражение для $a$ становится квадратной функцией от $t$: $a = g(t) = 2t^2 - 4t + 1$.

Найдем область значений переменной $t$:

$t = (\sin x \cos x)^2 = \left(\frac{1}{2}\sin(2x)\right)^2 = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Поскольку $0 \le \sin^2(2x) \le 1$, то для $t$ справедливо неравенство $0 \le t \le \frac{1}{4}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению множества значений функции $g(t) = 2t^2 - 4t + 1$ на отрезке $t \in [0, \frac{1}{4}]$.

Графиком функции $g(t)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $t_v = -\frac{b}{2a}$:

$t_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.

Вершина параболы $t_v=1$ находится правее отрезка $[0, \frac{1}{4}]$. Так как ветви параболы направлены вверх, функция $g(t)$ на этом отрезке монотонно убывает. Следовательно, свое наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка ($t=0$), а наименьшее — в правой границе ($t=\frac{1}{4}$).

Вычислим эти значения:

Максимальное значение: $g_{max} = g(0) = 2(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$.

Минимальное значение: $g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{4}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{1}{16} - 1 + 1 = \frac{1}{8}$.

Следовательно, множество значений для $a$, при которых исходное уравнение имеет корни, — это отрезок $[\frac{1}{8}, 1]$.

Ответ: Уравнение имеет корни при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.

Решить это уравнение

Решим уравнение $\sin^8 x + \cos^8 x = a$ для $a \in [\frac{1}{8}, 1]$.

В ходе нахождения допустимых значений $a$ мы свели исходное уравнение к следующему:

$2t^2 - 4t + (1-a) = 0$, где $t = \frac{1}{4}\sin^2(2x)$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8(1-a)}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8+8a}}{4} = 1 \pm \frac{2\sqrt{2+2a}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.

Мы знаем, что $t \in [0, \frac{1}{4}]$. Рассмотрим оба корня. Корень $t_1 = 1 + \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$ очевидно больше, чем $\frac{1}{4}$, так как $\frac{\sqrt{2+2a}}{2} > 0$. Этот корень не подходит.

Корень $t_2 = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$. Как мы показали ранее, при $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ значения $t_2$ лежат в отрезке $[0, \frac{1}{4}]$, поэтому этот корень является единственным решением для $t$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

$\frac{1}{4}\sin^2(2x) = t = 1 - \frac{\sqrt{2+2a}}{2}$.

Отсюда $\sin^2(2x) = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.

Для дальнейшего решения используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$:

$\frac{1-\cos(4x)}{2} = 4 - 2\sqrt{2+2a}$.

$1-\cos(4x) = 8 - 4\sqrt{2+2a}$.

$\cos(4x) = 1 - (8 - 4\sqrt{2+2a}) = 4\sqrt{2+2a} - 7$.

Из этого уравнения находим $4x$:

$4x = \pm \arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 4, получаем окончательное решение для $x$:

$x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: При $a \in [\frac{1}{8}, 1]$ решениями уравнения являются $x = \pm \frac{1}{4}\arccos(4\sqrt{2+2a} - 7) + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $a \notin [\frac{1}{8}, 1]$ уравнение решений не имеет.

886. При каких значениях x положительна дробь:

1) $\frac{5x-4}{7x+5}$;

2) $\frac{3x+10}{40-x}$;

3) $\frac{x+2}{5-4x}$;

4) $\frac{8-x}{6+3x}$?

1) Чтобы дробь $\frac{5x-4}{7x+5}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{5x-4}{7x+5} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем значения $x$, при которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $5x-4 = 0 \Rightarrow 5x = 4 \Rightarrow x = \frac{4}{5}$.
Нуль знаменателя: $7x+5 = 0 \Rightarrow 7x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{7}$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{5}{7})$, $(-\frac{5}{7}; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале, выбрав пробную точку:

• В интервале $(\frac{4}{5}; +\infty)$, возьмем $x=1$: $\frac{5(1)-4}{7(1)+5} = \frac{1}{12} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\frac{5}{7}; \frac{4}{5})$, возьмем $x=0$: $\frac{5(0)-4}{7(0)+5} = \frac{-4}{5} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-\infty; -\frac{5}{7})$, возьмем $x=-1$: $\frac{5(-1)-4}{7(-1)+5} = \frac{-9}{-2} > 0$. Знак "+".

Неравенство выполняется на тех интервалах, где знак "+".
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

2) Чтобы дробь $\frac{3x+10}{40-x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{3x+10}{40-x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $3x+10 = 0 \Rightarrow 3x = -10 \Rightarrow x = -\frac{10}{3}$.
Нуль знаменателя: $40-x = 0 \Rightarrow x = 40$.
Отметим точки $-\frac{10}{3}$ и $40$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{10}{3})$, $(-\frac{10}{3}; 40)$ и $(40; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(40; +\infty)$, возьмем $x=50$: $\frac{3(50)+10}{40-50} = \frac{160}{-10} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-\frac{10}{3}; 40)$, возьмем $x=0$: $\frac{3(0)+10}{40-0} = \frac{10}{40} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -\frac{10}{3})$, возьмем $x=-10$: $\frac{3(-10)+10}{40-(-10)} = \frac{-20}{50} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; 40)$.

3) Чтобы дробь $\frac{x+2}{5-4x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{x+2}{5-4x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.
Нуль знаменателя: $5-4x = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{4}$.
Отметим точки $-2$ и $\frac{5}{4}$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; \frac{5}{4})$ и $(\frac{5}{4}; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(\frac{5}{4}; +\infty)$, возьмем $x=2$: $\frac{2+2}{5-4(2)} = \frac{4}{-3} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2; \frac{5}{4})$, возьмем $x=0$: $\frac{0+2}{5-4(0)} = \frac{2}{5} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{-3+2}{5-4(-3)} = \frac{-1}{17} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-2; \frac{5}{4})$.

4) Чтобы дробь $\frac{8-x}{6+3x}$ была положительна, необходимо решить неравенство $\frac{8-x}{6+3x} > 0$.
Решим это неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $8-x = 0 \Rightarrow x = 8$.
Нуль знаменателя: $6+3x = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$.
Отметим точки $-2$ и $8$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -2)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Определим знак дроби на каждом интервале:

• В интервале $(8; +\infty)$, возьмем $x=10$: $\frac{8-10}{6+3(10)} = \frac{-2}{36} < 0$. Знак "-".
• В интервале $(-2; 8)$, возьмем $x=0$: $\frac{8-0}{6+3(0)} = \frac{8}{6} > 0$. Знак "+".
• В интервале $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $\frac{8-(-3)}{6+3(-3)} = \frac{11}{-3} < 0$. Знак "-".

Неравенство выполняется на интервале, где знак "+".
Ответ: $x \in (-2; 8)$.

887. При каких значениях x отрицательна дробь:

1) $\frac{3-2x}{3x-2}$;

2) $\frac{10-4x}{9x+2}$;

3) $\frac{18-7x}{-4x^2-1}$?

1) Чтобы дробь $\frac{3-2x}{3x-2}$ была отрицательной, ее числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это равносильно решению неравенства $\frac{3-2x}{3x-2} < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3 - 2x = 0$, откуда $2x = 3$ и $x = \frac{3}{2}$.

Нуль знаменателя: $3x - 2 = 0$, откуда $3x = 2$ и $x = \frac{2}{3}$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому это значение мы исключаем из решения (точка выколота).

Отметим точки $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ на числовой оси. Они делят ось на три интервала: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$ и $(\frac{3}{2}; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

На интервале $(-\infty; \frac{2}{3})$, например при $x=0$, имеем $\frac{3-2(0)}{3(0)-2} = \frac{3}{-2} < 0$. Значит, этот интервал является решением.

На интервале $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$, например при $x=1$, имеем $\frac{3-2(1)}{3(1)-2} = \frac{1}{1} > 0$. Этот интервал не является решением.

На интервале $(\frac{3}{2}; +\infty)$, например при $x=2$, имеем $\frac{3-2(2)}{3(2)-2} = \frac{-1}{4} < 0$. Значит, этот интервал также является решением.

Объединяя найденные интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

2) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{10-4x}{9x+2}$ отрицательна. Для этого решим неравенство $\frac{10-4x}{9x+2} < 0$.

Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $10 - 4x = 0$, откуда $4x = 10$ и $x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Нуль знаменателя: $9x + 2 = 0$, откуда $9x = -2$ и $x = -\frac{2}{9}$. Это значение исключаем из решения.

Отметим точки $-\frac{2}{9}$ и $\frac{5}{2}$ на числовой оси. Они делят ось на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{9})$, $(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2})$ и $(\frac{5}{2}; +\infty)$. Определим знак дроби на каждом интервале.

На интервале $(-\infty; -\frac{2}{9})$, например при $x=-1$, имеем $\frac{10-4(-1)}{9(-1)+2} = \frac{14}{-7} = -2 < 0$. Интервал является решением.

На интервале $(-\frac{2}{9}; \frac{5}{2})$, например при $x=0$, имеем $\frac{10-4(0)}{9(0)+2} = \frac{10}{2} = 5 > 0$. Интервал не является решением.

На интервале $(\frac{5}{2}; +\infty)$, например при $x=3$, имеем $\frac{10-4(3)}{9(3)+2} = \frac{-2}{29} < 0$. Интервал является решением.

Объединив подходящие интервалы, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{9}) \cup (\frac{5}{2}; +\infty)$.

3) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{18-7x}{-4x^2-1}$ отрицательна. Для этого необходимо решить неравенство $\frac{18-7x}{-4x^2-1} < 0$.

Рассмотрим знаменатель дроби: $-4x^2-1$. Мы можем вынести минус за скобки: $-(4x^2+1)$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$ для любого $x$), поэтому $4x^2 \ge 0$, а $4x^2+1 \ge 1$. Это означает, что выражение $4x^2+1$ всегда является положительным числом.

Следовательно, знаменатель $-(4x^2+1)$ всегда отрицателен. Также он никогда не равен нулю, поэтому область определения дроби — все действительные числа.

Дробь с отрицательным знаменателем будет отрицательной в том и только в том случае, если ее числитель будет положительным. Таким образом, исходное неравенство равносильно простому неравенству:

$18 - 7x > 0$

Перенесем $7x$ в правую часть: $18 > 7x$.

Разделим обе части на 7, получим: $\frac{18}{7} > x$, что то же самое, что и $x < \frac{18}{7}$.

Это можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{18}{7})$.

Решить неравенство (888–895).

888. 1) $\frac{5x+4}{x-3} < 4;$

2) $\frac{2}{x-4} < 1;$

3) $\frac{2}{x+3} \le 4.$

1)

Для решения неравенства $ \frac{5x+4}{x-3} < 4 $ перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{5x+4}{x-3} - 4 < 0 $
$ \frac{5x+4 - 4(x-3)}{x-3} < 0 $
$ \frac{5x+4 - 4x + 12}{x-3} < 0 $
$ \frac{x+16}{x-3} < 0 $
Применим метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль: $ x+16=0 \Rightarrow x=-16 $ и $ x-3=0 \Rightarrow x=3 $.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty, -16) $, $ (-16, 3) $ и $ (3, \infty) $. Так как неравенство строгое, точки $ x=-16 $ и $ x=3 $ не включаются в решение.
Определим знак дроби на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, -16) $, (например, $ x=-20 $), дробь $ \frac{-20+16}{-20-3} = \frac{-4}{-23} > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (-16, 3) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{0+16}{0-3} = -\frac{16}{3} < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in (3, \infty) $, (например, $ x=4 $), дробь $ \frac{4+16}{4-3} = 20 > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $ x \in (-16, 3) $

2)

Для решения неравенства $ \frac{2}{x-4} < 1 $ перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2}{x-4} - 1 < 0 $
$ \frac{2 - (x-4)}{x-4} < 0 $
$ \frac{2 - x + 4}{x-4} < 0 $
$ \frac{6-x}{x-4} < 0 $
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$ \frac{x-6}{x-4} > 0 $
Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $ x=6 $ и $ x=4 $.
Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty, 4) $, $ (4, 6) $ и $ (6, \infty) $.
Определим знак дроби $ \frac{x-6}{x-4} $ на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, 4) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{0-6}{0-4} = \frac{3}{2} > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (4, 6) $, (например, $ x=5 $), дробь $ \frac{5-6}{5-4} = -1 < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in (6, \infty) $, (например, $ x=7 $), дробь $ \frac{7-6}{7-4} = \frac{1}{3} > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства ">", нас интересуют интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $ x \in (-\infty, 4) \cup (6, \infty) $

3)

Для решения неравенства $ \frac{2}{x+3} \le 4 $ перенесем 4 в левую часть:
$ \frac{2}{x+3} - 4 \le 0 $
Приведем к общему знаменателю:
$ \frac{2 - 4(x+3)}{x+3} \le 0 $
$ \frac{2 - 4x - 12}{x+3} \le 0 $
$ \frac{-4x-10}{x+3} \le 0 $
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$ \frac{4x+10}{x+3} \ge 0 $
Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Корень числителя: $ 4x+10=0 \Rightarrow x=-2.5 $. Эта точка включается в решение, так как неравенство нестрогое ($ \ge $).
Корень знаменателя: $ x+3=0 \Rightarrow x=-3 $. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю.
Точки разбивают числовую прямую на интервалы: $ (-\infty, -3) $, $ (-3, -2.5] $ и $ [-2.5, \infty) $.
Определим знак дроби $ \frac{4x+10}{x+3} $ на каждом интервале:
- При $ x \in (-\infty, -3) $, (например, $ x=-4 $), дробь $ \frac{4(-4)+10}{-4+3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 $ (знак "+").
- При $ x \in (-3, -2.5] $, (например, $ x=-2.6 $), дробь $ \frac{4(-2.6)+10}{-2.6+3} = \frac{-0.4}{0.4} = -1 < 0 $ (знак "-").
- При $ x \in [-2.5, \infty) $, (например, $ x=0 $), дробь $ \frac{10}{3} > 0 $ (знак "+").
Поскольку знак неравенства "$ \ge $", нас интересуют интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $ x \in (-\infty, -3) \cup [-2.5, \infty) $

889. 1) $8x^2 - 2x - 1 < 0$;

2) $5x^2 + 7x \le 0$.

1) Решим квадратное неравенство $8x^2 - 2x - 1 < 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 2x - 1 = 0$.
Для этого вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$, где $a=8$, $b=-2$, $c=-1$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$.
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$

Теперь рассмотрим функцию $y = 8x^2 - 2x - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=8 > 0$.
Парабола пересекает ось абсцисс (ось $Ox$) в точках $x = -1/4$ и $x = 1/2$.
Неравенство $8x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется на том интервале, где график параболы расположен ниже оси абсцисс.
Для параболы с ветвями вверх это интервал между корнями.
Так как неравенство строгое ($<$), сами корни в решение не включаются.
Следовательно, решением является интервал $(-1/4; 1/2)$.

Ответ: $x \in (-1/4; 1/2)$.

2) Решим квадратное неравенство $5x^2 + 7x \le 0$.

Найдем корни соответствующего неполного квадратного уравнения $5x^2 + 7x = 0$.
Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5x + 7) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_1 = 0$
или
$5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x_2 = -7/5 = -1.4$.

Рассмотрим функцию $y = 5x^2 + 7x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент $a=5 > 0$.
Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -7/5$ и $x = 0$.
Неравенство $5x^2 + 7x \le 0$ выполняется на том промежутке, где график параболы расположен ниже или на оси абсцисс.
Для параболы с ветвями вверх это промежуток между корнями, включая сами корни.
Так как неравенство нестрогое ($\le$), корни включаются в решение.
Следовательно, решением является отрезок $[-7/5; 0]$.

Ответ: $x \in [-7/5; 0]$.

890. 1) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0;$

2) $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0.$

1)

Для решения неравенства $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых левая часть неравенства равна нулю или не определена.
Нули числителя: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ и $x = -3$.
Нули знаменателя: $(x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ и $x = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3.
Поскольку неравенство строгое ($<0$), все точки будут "выколотыми", то есть не включаются в решение. Точки, в которых знаменатель обращается в ноль, выкалываются всегда.
Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$ и $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале. Для этого возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:
$\frac{(4-3)(4+3)}{(4-2)(4+2)} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 6} = \frac{7}{12} > 0$. Знак "+".
Так как все множители в первой степени (нечетной), знаки в соседних интервалах будут чередоваться. Двигаясь справа налево, получаем следующую последовательность знаков: +, -, +, -, +.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля, то есть имеет знак "минус".
Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$.

2)

Решим неравенство $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$.

Проанализируем каждый из множителей в левой части.
Первый множитель $(2x^2 + 3)$:
Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), то $2x^2 \ge 0$.
Следовательно, выражение $2x^2 + 3$ всегда будет больше или равно 3 ($2x^2 + 3 \ge 3$).
Это означает, что множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен при любом действительном значении $x$.

Так как множитель $(2x^2 + 3)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, при этом знак неравенства не изменится:
$(x + 4)^3 > 0$

Выражение в нечетной степени (в данном случае в кубе) имеет тот же знак, что и его основание. Поэтому неравенство $(x + 4)^3 > 0$ равносильно более простому неравенству:
$x + 4 > 0$

Решим полученное линейное неравенство:
$x > -4$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

891. 1) $\frac{3x - 15}{x^2 + 5x - 14} \ge 0;$

2) $\frac{x - 1}{x^2 + 4x + 2} < 0;$

3) $\frac{x^2 + 2x - 8}{x^2 - 2x - 3} > 0;$

4) $\frac{(x - 5)\left(\frac{1}{2^{x-1}} + 0,2\right)}{x + 2} \le 0.$

1) Решим неравенство $\frac{3x-15}{x^2+5x-14} \geq 0$ методом интервалов.
Сначала найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $3x-15 = 0 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$. Так как неравенство нестрогое, эта точка будет входить в решение.
Нули знаменателя: $x^2+5x-14=0$. Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-5-9}{2} = -7$
$x_2 = \frac{-5+9}{2} = 2$
Эти точки не входят в область определения, поэтому они будут выколотыми на числовой оси.
Перепишем неравенство в виде: $\frac{3(x-5)}{(x+7)(x-2)} \geq 0$.
Нанесем точки -7, 2 и 5 на числовую ось и определим знаки выражения в каждом интервале.

- Интервал $(-\infty; -7)$: возьмем $x=-8$, $\frac{3(-)}{(-)(-)} = -$.
- Интервал $(-7; 2)$: возьмем $x=0$, $\frac{3(-)}{(+)(-)} = +$.
- Интервал $(2; 5]$: возьмем $x=3$, $\frac{3(-)}{(+)(+)} = -$.
- Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{3(+)}{(+)(+)} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю.
Ответ: $x \in (-7; 2) \cup [5; +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-1}{x^2+4x+2} < 0$.
Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Нули знаменателя: $x^2+4x+2=0$. Найдем корни: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$.
$x_1 = \frac{-4-\sqrt{8}}{2} = \frac{-4-2\sqrt{2}}{2} = -2-\sqrt{2}$
$x_2 = \frac{-4+\sqrt{8}}{2} = \frac{-4+2\sqrt{2}}{2} = -2+\sqrt{2}$
Так как неравенство строгое, все точки будут выколотыми.
Перепишем неравенство: $\frac{x-1}{(x - (-2-\sqrt{2}))(x - (-2+\sqrt{2}))} < 0$.
Нанесем точки $-2-\sqrt{2} \approx -3.41$, $-2+\sqrt{2} \approx -0.59$ и $1$ на числовую ось.

- Интервал $(-\infty; -2-\sqrt{2})$: возьмем $x=-4$, $\frac{-}{(-)(-)_ \text{знаменатель } 16-16+2>0} = \frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(-2-\sqrt{2}; -2+\sqrt{2})$: возьмем $x=-1$, $\frac{-}{1-4+2} = \frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(-2+\sqrt{2}; 1)$: возьмем $x=0$, $\frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(1; +\infty)$: возьмем $x=2$, $\frac{+}{4+8+2} = \frac{+}{+} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -2-\sqrt{2}) \cup (-2+\sqrt{2}; 1)$.

3) Решим неравенство $\frac{x^2+2x-8}{x^2-2x-3} > 0$.
Разложим числитель и знаменатель на множители.
Числитель: $x^2+2x-8=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -4$, $x_2=2$. Тогда $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$.
Знаменатель: $x^2-2x-3=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$, $x_2=3$. Тогда $x^2-2x-3 = (x+1)(x-3)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)(x-3)} > 0$.
Нули выражения: -4, -1, 2, 3. Так как неравенство строгое, все точки выколотые.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки.

- Интервал $(-\infty; -4)$: возьмем $x=-5$, $\frac{(-)(-)_ \text{}}{(-)(-)_ \text{}} = \frac{+}{+} = +$.
- Интервал $(-4; -1)$: возьмем $x=-2$, $\frac{(+)(-)_ \text{}}{(-)(-)_ \text{}} = \frac{-}{+} = -$.
- Интервал $(-1; 2)$: возьмем $x=0$, $\frac{(+)(-)_ \text{}}{(+)(-)_ \text{}} = \frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(2; 3)$: возьмем $x=2.5$, $\frac{(+)(+)_ \text{}}{(+)(-)_ \text{}} = \frac{+}{-} = -$.
- Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x=4$, $\frac{(+)(+)_ \text{}}{(+)(+)_ \text{}} = \frac{+}{+} = +$.
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.
Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-1; 2) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x-5)(2^{\frac{1}{x-1}}+0,2)}{x+2} \leq 0$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби в показателе степени не должен быть равен нулю: $x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Знаменатель основной дроби не должен быть равен нулю: $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.
Рассмотрим множитель $(2^{\frac{1}{x-1}}+0,2)$.
Показательная функция $a^y$ всегда положительна ($a^y > 0$) для любого действительного $y$ при $a>0$.
Следовательно, $2^{\frac{1}{x-1}} > 0$.
Тогда сумма $2^{\frac{1}{x-1}}+0,2$ всегда больше нуля.
Так как этот множитель всегда положителен, мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака.
Неравенство упрощается до: $\frac{x-5}{x+2} \leq 0$.
Решим его методом интервалов.
Нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$. Точка входит в решение (нестрогое неравенство).
Нуль знаменателя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$. Точка не входит в решение (ОДЗ).
Нанесем точки -2 (выколотая) и 5 (закрашенная) на числовую ось.

- Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, $\frac{-}{-} = +$.
- Интервал $(-2; 5]$: возьмем $x=0$, $\frac{-}{+} = -$.
- Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$, $\frac{+}{+} = +$.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю: $(-2; 5]$.
Теперь учтем первоначальное ограничение из ОДЗ: $x \neq 1$.
Точка $x=1$ лежит внутри найденного интервала $(-2; 5]$, поэтому ее нужно исключить.
Получаем объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (1; 5]$.

892. 1) $|2x - 5| \le 3;$

2) $|5x - 9| > 4;$

3) $|2 - 3x| < x + 1;$

4) $|1 + 2x| \ge 3 - x.$

1) Решим неравенство $|2x-5| \le 3$.

Данное неравенство вида $|f(x)| \le a$, где $a$ - положительное число, равносильно двойному неравенству $-a \le f(x) \le a$.

Применим это правило к нашему случаю:

$-3 \le 2x - 5 \le 3$

Чтобы выделить $x$, прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$-3 + 5 \le 2x - 5 + 5 \le 3 + 5$

$2 \le 2x \le 8$

Теперь разделим все части неравенства на 2:

$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{8}{2}$

$1 \le x \le 4$

Решением является числовой промежуток, включающий концы.

Ответ: $x \in [1, 4]$.

2) Решим неравенство $|5x-9| > 4$.

Неравенство вида $|f(x)| > a$, где $a$ - положительное число, равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

В нашем случае получаем совокупность:

$5x - 9 > 4$ или $5x - 9 < -4$.

Решим первое неравенство:

$5x > 4 + 9$

$5x > 13$

$x > \frac{13}{5}$

Решим второе неравенство:

$5x < -4 + 9$

$5x < 5$

$x < 1$

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{13}{5}, +\infty)$.

3) Решим неравенство $|2-3x| < x+1$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе (пересечению) двух неравенств $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > -g(x) \end{cases}$.

Заметим, что левая часть неравенства $|2-3x|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть должна быть строго положительной: $x+1 > 0$, откуда $x > -1$.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 2 - 3x < x + 1 \\ 2 - 3x > -(x + 1) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:

$2 - 1 < x + 3x$

$1 < 4x$

$x > \frac{1}{4}$

Решим второе неравенство системы:

$2 - 3x > -x - 1$

$2 + 1 > 3x - x$

$3 > 2x$

$x < \frac{3}{2}$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x > \frac{1}{4}$, $x < \frac{3}{2}$ и $x > -1$. Общим решением является интервал, где все три условия выполняются одновременно.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}, \frac{3}{2})$.

4) Решим неравенство $|1+2x| \ge 3-x$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности (объединению) двух неравенств: $f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

В нашем случае получаем совокупность:

$1 + 2x \ge 3 - x$ или $1 + 2x \le -(3 - x)$.

Решим первое неравенство:

$2x + x \ge 3 - 1$

$3x \ge 2$

$x \ge \frac{2}{3}$

Решим второе неравенство:

$1 + 2x \le -3 + x$

$2x - x \le -3 - 1$

$x \le -4$

Объединение решений этих двух неравенств ($x \le -4$ или $x \ge \frac{2}{3}$) дает итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$.

893. 1) $|x - 1|(x^4 - 2x^2 - 3) \ge 0$;

2) $|x^2 - 9|(x^4 - 2x^2 - 8) \le 0$.

Решим неравенство $|x-1|(x^4 - 2x^2 - 3) \ge 0$.

Множитель $|x-1|$ по определению модуля всегда неотрицателен, то есть $|x-1| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Поэтому данное неравенство будет выполняться в двух случаях:

1. Когда произведение равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю.

• $|x-1| = 0 \implies x-1=0 \implies x=1$. Подставив $x=1$ в исходное неравенство, получим $0 \ge 0$, что является верным. Значит, $x=1$ — решение.
• $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$. Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.
  $t^2 - 2t - 3 = 0$.
  По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
  Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.
  Возвращаемся к замене для $t_1 = 3$:
  $x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$.
  Эти значения также являются решениями исходного неравенства.

2. Когда произведение строго больше нуля. Так как $|x-1| > 0$ при всех $x \ne 1$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы второй множитель был также положителен:

$x^4 - 2x^2 - 3 > 0$.

Снова используем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$).

$t^2 - 2t - 3 > 0$.

Раскладываем на множители: $(t-3)(t+1) > 0$.

Решением этого неравенства для $t$ является объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, получаем $t > 3$.

Делаем обратную замену:

$x^2 > 3$.

Это равносильно $x^2 - 3 > 0$, или $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) > 0$.

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.

Теперь объединим все найденные решения: точки $x=1, x=\sqrt{3}, x=-\sqrt{3}$ и интервалы $(-\infty, -\sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}, +\infty)$.

В итоге получаем: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup \{1\} \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup \{1\} \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.

Решим неравенство $|x^2-9|(x^4 - 2x^2 - 8) \le 0$.

Множитель $|x^2-9|$ всегда неотрицателен: $|x^2-9| \ge 0$ для любого $x$.

Произведение неотрицательного множителя на второй множитель будет меньше или равно нулю в двух случаях:

1. Когда первый множитель равен нулю.

$|x^2-9| = 0 \implies x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0$.

Отсюда получаем корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. В этих точках левая часть неравенства равна нулю, что удовлетворяет условию $\le 0$. Таким образом, $x=3$ и $x=-3$ являются решениями.

2. Когда первый множитель строго положителен, а второй — отрицателен или равен нулю.

То есть, при $x \ne \pm 3$ должно выполняться неравенство:

$x^4 - 2x^2 - 8 \le 0$.

Сделаем замену переменной: $t = x^2$ ($t \ge 0$).

Неравенство принимает вид: $t^2 - 2t - 8 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Неравенство можно записать как $(t-4)(t+2) \le 0$.

Решением этого неравенства для $t$ является отрезок $[-2, 4]$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем $0 \le t \le 4$.

Выполним обратную замену:

$0 \le x^2 \le 4$.

Это двойное неравенство эквивалентно системе $\begin{cases} x^2 \ge 0 \\ x^2 \le 4 \end{cases}$.

Неравенство $x^2 \ge 0$ выполняется для всех действительных $x$.

Неравенство $x^2 \le 4$ равносильно $|x| \le 2$, что дает решение $x \in [-2, 2]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем изолированные точки $x=-3, x=3$ и отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: $x \in \{-3\} \cup [-2, 2] \cup \{3\}$.

894. 1) $|2x - 3| < x;$

2) $|4 - x| > x;$

3) $|x^2 - 7x + 12| \le 6;$

4) $|x^2 - 3x - 4| > 6;$

5) $|2x^2 - x - 1| \ge 5;$

6) $|3x^2 - x - 4| < 2.$

1) $|2x - 3| < x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, так как модуль числа всегда неотрицателен, правая часть неравенства должна быть строго больше нуля, чтобы неравенство имело решение: $x > 0$.

Неравенство вида $|a| < b$ эквивалентно двойному неравенству $-b < a < b$. Применяя это правило, получаем:

$-x < 2x - 3 < x$

Это двойное неравенство можно разбить на систему из двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2x - 3 < x \\ 2x - 3 > -x \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$2x - x < 3$

$x < 3$

Решим второе неравенство:

$2x + x > 3$

$3x > 3$

$x > 1$

Теперь объединим все условия: $x > 0$, $x < 3$ и $x > 1$. Пересечением этих трех условий является интервал $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

2) $|4 - x| > x$

Неравенство вида $|a| > b$ эквивалентно совокупности двух неравенств: $a > b$ или $a < -b$. Применяя это правило, получаем:

$4 - x > x$ или $4 - x < -x$

Решим первое неравенство:

$4 > x + x$

$4 > 2x$

$2 > x$, или $x < 2$

Решим второе неравенство:

$4 - x < -x$

$4 < 0$

Это неравенство неверно и не имеет решений.

Решением исходного неравенства является объединение решений двух рассмотренных случаев. Так как второй случай не дал решений, итоговым решением будет решение первого случая.

Ответ: $(-\infty; 2)$.

3) $|x^2 - 7x + 12| \leq 6$

Неравенство вида $|a| \leq b$ эквивалентно двойному неравенству $-b \leq a \leq b$. Таким образом, получаем:

$-6 \leq x^2 - 7x + 12 \leq 6$

Это двойное неравенство представляет собой систему из двух квадратных неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 7x + 12 \leq 6 \\ x^2 - 7x + 12 \geq -6 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 7x + 6 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 6$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 \leq x \leq 6$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 7x + 18 \geq 0$

Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 7x + 18 = 0$: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 49 - 72 = -23$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 - 7x + 18$ положителен при любых значениях $x$. Следовательно, это неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[1; 6] \cap (-\infty; +\infty)$, что дает $[1; 6]$.

Ответ: $[1; 6]$.

4) $|x^2 - 3x - 4| > 6$

Неравенство вида $|a| > b$ эквивалентно совокупности $a > b$ или $a < -b$. Получаем:

$x^2 - 3x - 4 > 6$ или $x^2 - 3x - 4 < -6$

Решим первое неравенство:

$x^2 - 3x - 10 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -2$ или $x > 5$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 < x < 2$.

Общее решение - это объединение решений обоих неравенств.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (5; +\infty)$.

5) $|2x^2 - x - 1| \geq 5$

Неравенство вида $|a| \geq b$ эквивалентно совокупности $a \geq b$ или $a \leq -b$. Получаем:

$2x^2 - x - 1 \geq 5$ или $2x^2 - x - 1 \leq -5$

Решим первое неравенство:

$2x^2 - x - 6 \geq 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{1 \pm 7}{4}$. Получаем $x_1 = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{8}{4} = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \leq -\frac{3}{2}$ или $x \geq 2$.

Решим второе неравенство:

$2x^2 - x + 4 \leq 0$

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - x + 4 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $2x^2 - x + 4$ всегда положителен, и неравенство $2x^2 - x + 4 \leq 0$ не имеет решений.

Объединяя решения, получаем решение только из первого случая.

Ответ: $(-\infty; -\frac{3}{2}] \cup [2; +\infty)$.

6) $|3x^2 - x - 4| < 2$

Неравенство вида $|a| < b$ эквивалентно двойному неравенству $-b < a < b$. Получаем:

$-2 < 3x^2 - x - 4 < 2$

Это эквивалентно системе неравенств:

$\begin{cases} 3x^2 - x - 4 < 2 \\ 3x^2 - x - 4 > -2 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x^2 - x - 6 < 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 6 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 1 + 72 = 73$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Решим второе неравенство:

$3x^2 - x - 2 > 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$. $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}$. Получаем $x_1 = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{6}{6} = 1$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -\frac{2}{3}$ или $x > 1$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; \frac{1 + \sqrt{73}}{6}) \cap ((-\infty; -\frac{2}{3}) \cup (1; +\infty))$.

Так как $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 - 8.54}{6} \approx -1.26$ и $\frac{1 + \sqrt{73}}{6} \approx \frac{1 + 8.54}{6} \approx 1.59$, а $-\frac{2}{3} \approx -0.67$, то пересечением будут два интервала.

Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -\frac{2}{3}) \cup (1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.

895. $ \frac{x^3 + x^2 - 4x - 4}{x^3 + 6x^2 + 5x - 12} > 0 $

Для решения данного неравенства необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем применить метод интервалов.

1. Разложим на множители числитель: $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$.
Сгруппируем слагаемые:$P(x) = (x^3 + x^2) - (4x + 4) = x^2(x + 1) - 4(x + 1)$Вынесем общий множитель $(x+1)$:$P(x) = (x + 1)(x^2 - 4)$Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $x^2 - 4$:$P(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$Корни числителя: $x = -1, x = 2, x = -2$.

2. Разложим на множители знаменатель: $Q(x) = x^3 + 6x^2 + 5x - 12$.
Найдем целые корни многочлена среди делителей свободного члена (-12): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12$.Проверим $x=1$:$Q(1) = 1^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 12 = 1 + 6 + 5 - 12 = 0$.Следовательно, $x=1$ является корнем, а $(x-1)$ — одним из множителей. Разделим многочлен $Q(x)$ на $(x-1)$ (например, по схеме Горнера или "уголком"), чтобы найти оставшуюся часть.Деление "уголком":

 x³ + 6x² + 5x - 12 | x - 1-(x³ - x²) |--------- —————————— x² + 7x + 12 7x² + 5x -(7x² - 7x) ——————— 12x - 12 -(12x - 12) ——————— 0

Таким образом, $Q(x) = (x - 1)(x^2 + 7x + 12)$.Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 + 7x + 12$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Сумма корней равна -7, а произведение 12. Это корни $x = -3$ и $x = -4$.Значит, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.Окончательно, знаменатель раскладывается на множители:$Q(x) = (x - 1)(x + 3)(x + 4)$Корни знаменателя: $x = 1, x = -3, x = -4$.

3. Перепишем исходное неравенство в новом виде:$$ \frac{(x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)(x + 4)} > 0 $$

4. Применим метод интервалов.Нанесем на числовую ось все корни числителя и знаменателя в порядке возрастания: -4, -3, -2, -1, 1, 2. Так как неравенство строгое ($>0$), все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.Эти точки разбивают числовую ось на 7 интервалов. Определим знак выражения в каждом интервале.

• Интервал $(2, +\infty)$: возьмем $x=3$. Все множители в числителе и знаменателе положительны. Дробь положительна (+).
• Интервал $(1, 2)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-1, 1)$: знак меняется на (+).
• Интервал $(-2, -1)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-3, -2)$: знак меняется на (+).
• Интервал $(-4, -3)$: знак меняется на (-).
• Интервал $(-\infty, -4)$: знак меняется на (+).

Знаки на интервалах чередуются, так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1).

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (знак "+"). Это интервалы:$(-\infty, -4)$, $(-3, -2)$, $(-1, 1)$, $(2, +\infty)$.Объединение этих интервалов и является решением неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-3; -2) \cup (-1; 1) \cup (2; +\infty)$.

896. Найти все значения a, для которых является верным при всех значениях x неравенство:

1) $\frac{8x^2-4x+3}{4x^2-2x+1} \le a;$

2) $\frac{3x^2-4x+8}{9x^2-12x+16} \ge a.$

Чтобы данное неравенство было верным при всех значениях $x$, параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции в случае (1) и меньше или равен минимальному значению функции в случае (2).

1) Рассмотрим неравенство $\frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1} \leq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не меньше, чем наибольшее значение функции $f(x) = \frac{8x^2 - 4x + 3}{4x^2 - 2x + 1}$.

Исследуем знаменатель дроби: $4x^2 - 2x + 1$. Это квадратичная функция с положительным старшим коэффициентом ($4 > 0$). Найдем ее дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, знаменатель не имеет корней и всегда положителен.

Преобразуем выражение для $f(x)$, выделив в числителе выражение из знаменателя:

$8x^2 - 4x + 3 = 2(4x^2 - 2x) + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) - 2 + 3 = 2(4x^2 - 2x + 1) + 1$.

Тогда функция примет вид:

$f(x) = \frac{2(4x^2 - 2x + 1) + 1}{4x^2 - 2x + 1} = 2 + \frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$.

Чтобы найти максимальное значение $f(x)$, нужно найти максимальное значение дроби $\frac{1}{4x^2 - 2x + 1}$. Это произойдет, когда знаменатель $g(x) = 4x^2 - 2x + 1$ принимает минимальное значение.

Минимальное значение квадратичной функции $g(x)$ достигается в вершине параболы. Координата вершины $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$.

Минимальное значение знаменателя равно:

$g_{min} = g(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{4})^2 - 2(\frac{1}{4}) + 1 = 4 \cdot \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} = \frac{3}{4}$.

Следовательно, максимальное значение функции $f(x)$ равно:

$f_{max} = 2 + \frac{1}{g_{min}} = 2 + \frac{1}{3/4} = 2 + \frac{4}{3} = \frac{10}{3}$.

Поскольку неравенство $f(x) \leq a$ должно выполняться для всех $x$, то $a$ должно быть не меньше максимального значения $f(x)$.

$a \geq \frac{10}{3}$.

Ответ: $a \in [\frac{10}{3}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16} \geq a$.

Оно должно выполняться для всех действительных чисел $x$. Это означает, что $a$ должно быть не больше, чем наименьшее значение функции $h(x) = \frac{3x^2 - 4x + 8}{9x^2 - 12x + 16}$.

Исследуем знаменатель $9x^2 - 12x + 16$. Дискриминант $D = (-12)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 16 = 144 - 576 = -432$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $9 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Заметим, что $9x^2 - 12x + 16 = 3(3x^2 - 4x) + 16$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 3x^2 - 4x$. Тогда функция $h(x)$ превращается в функцию от $t$:

$k(t) = \frac{t + 8}{3t + 16}$.

Найдем множество значений, которые может принимать переменная $t$. Функция $t(x) = 3x^2 - 4x$ — это парабола с ветвями вверх. Ее минимальное значение достигается в вершине $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{3}$.

Минимальное значение $t$ равно:

$t_{min} = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.

Таким образом, $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $k(t) = \frac{t+8}{3t+16}$ на промежутке $t \in [-\frac{4}{3}; +\infty)$. Найдем производную $k'(t)$:

$k'(t) = \frac{(t+8)'(3t+16) - (t+8)(3t+16)'}{(3t+16)^2} = \frac{1 \cdot (3t+16) - (t+8) \cdot 3}{(3t+16)^2} = \frac{3t + 16 - 3t - 24}{(3t+16)^2} = \frac{-8}{(3t+16)^2}$.

Поскольку $(3t+16)^2 > 0$ для всех $t$ из области определения, то $k'(t) < 0$. Это означает, что функция $k(t)$ монотонно убывает на всей своей области определения.

Наименьшее значение убывающей функции на промежутке $[-\frac{4}{3}; +\infty)$ будет достигаться при $t \to +\infty$. Найдем предел:

$\lim_{t \to \infty} k(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t+8}{3t+16} = \lim_{t \to \infty} \frac{1 + 8/t}{3 + 16/t} = \frac{1}{3}$.

Этот предел является инфимумом (точной нижней гранью) значений функции $h(x)$. То есть $h(x) > \frac{1}{3}$ для всех $x$, и значения $h(x)$ могут быть сколь угодно близки к $\frac{1}{3}$.

Чтобы неравенство $h(x) \geq a$ выполнялось для всех $x$, значение $a$ должно быть не больше любого из значений функции, включая ее точную нижнюю грань.

$a \leq \frac{1}{3}$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.