Страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

965. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору за 3 мин, а по движущемуся за 45 с. Определить, за какое время поднимает эскалатор неподвижно стоящего на нём пассажира.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $L$ – длина эскалатора.
• $v_п$ – скорость пассажира относительно эскалатора (скорость, с которой пассажир идет по ступеням).
• $v_э$ – скорость эскалатора относительно земли.
• $t_1 = 3 \text{ мин} = 3 \cdot 60 = 180 \text{ с}$ – время, за которое пассажир поднимается по неподвижному эскалатору.
• $t_2 = 45 \text{ с}$ – время, за которое пассажир поднимается по движущемуся эскалатору.
• $t_3$ – искомое время, за которое эскалатор поднимает неподвижно стоящего на нём пассажира.

Рассмотрим три ситуации:

1. Когда пассажир идет по неподвижному эскалатору, его скорость относительно земли равна его собственной скорости $v_п$. Пройденный путь $L$ можно выразить как:

$L = v_п \cdot t_1$

Отсюда скорость пассажира: $v_п = \frac{L}{t_1}$.

2. Когда пассажир идет по движущемуся эскалатору, его скорость относительно земли равна сумме его собственной скорости и скорости эскалатора: $v_п + v_э$. Пройденный путь $L$ в этом случае:

$L = (v_п + v_э) \cdot t_2$

Отсюда суммарная скорость: $v_п + v_э = \frac{L}{t_2}$.

3. Когда пассажир стоит на движущемся эскалаторе, его скорость относительно земли равна скорости эскалатора $v_э$. Время подъема $t_3$ связано с длиной и скоростью так:

$L = v_э \cdot t_3$

Отсюда скорость эскалатора: $v_э = \frac{L}{t_3}$.

Теперь подставим выражения для $v_п$ и $v_э$ в формулу для второго случая:

$\frac{L}{t_1} + \frac{L}{t_3} = \frac{L}{t_2}$

Поскольку длина эскалатора $L$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $L$:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{t_2}$

Нам нужно найти $t_3$. Выразим $\frac{1}{t_3}$ из этого уравнения:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{t_2} - \frac{1}{t_1}$

Подставим числовые значения времени в секундах ($t_1 = 180 \text{ с}$, $t_2 = 45 \text{ с}$):

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{45} - \frac{1}{180}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю 180:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1 \cdot 4}{45 \cdot 4} - \frac{1}{180} = \frac{4}{180} - \frac{1}{180} = \frac{3}{180}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{1}{t_3} = \frac{1}{60}$

Отсюда следует, что $t_3 = 60 \text{ с}$.

Это время можно также выразить в минутах: $60 \text{ с} = 1 \text{ мин}$.

Ответ: 60 с (или 1 мин).

966. Теплоход прошёл расстояние между двумя пристанями по течению реки за 7 ч, а против течения за 9 ч. Определить расстояние между пристанями, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ – искомое расстояние между пристанями в километрах, а $v_c$ – собственная скорость теплохода в км/ч. По условию, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Скорость теплохода при движении по течению реки равна сумме его собственной скорости и скорости течения, то есть $(v_c + 2)$ км/ч. Теплоход прошел расстояние $S$ за 7 часов, следовательно, мы можем записать первое уравнение:
$S = 7 \cdot (v_c + 2)$

Скорость теплохода при движении против течения реки равна разности его собственной скорости и скорости течения, то есть $(v_c - 2)$ км/ч. Это же расстояние $S$ он прошел за 9 часов, что дает нам второе уравнение:
$S = 9 \cdot (v_c - 2)$

Поскольку расстояние $S$ в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части двух уравнений, чтобы найти собственную скорость теплохода $v_c$:

$7 \cdot (v_c + 2) = 9 \cdot (v_c - 2)$

Теперь решим полученное уравнение:

$7v_c + 14 = 9v_c - 18$
$14 + 18 = 9v_c - 7v_c$
$32 = 2v_c$
$v_c = \frac{32}{2}$
$v_c = 16$ км/ч

Мы нашли собственную скорость теплохода – она равна 16 км/ч. Теперь можно вычислить расстояние $S$, подставив значение $v_c$ в любое из двух первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:

$S = 7 \cdot (16 + 2) = 7 \cdot 18 = 126$ км.

Для проверки можно подставить значение $v_c$ и во второе уравнение:

$S = 9 \cdot (16 - 2) = 9 \cdot 14 = 126$ км.

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: расстояние между пристанями равно 126 км.

967. Теплоход должен был пройти некоторое расстояние за 2,25 суток, но оказалось, что он проходил за каждый час на 2,5 км больше, чем предполагалось, а потому прошёл намеченный путь за 2 суток. Какое расстояние должен был пройти теплоход?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S$ (км) — искомое расстояние, которое должен был пройти теплоход, а $v$ (км/ч) — его предполагаемая (плановая) скорость. Из условия задачи следует, что фактическая скорость теплохода была на 2,5 км/ч больше, то есть $(v + 2,5)$ км/ч.

Чтобы использовать формулу пути ($S = \text{скорость} \cdot \text{время}$), необходимо привести единицы измерения времени к одному виду. Поскольку скорость дана в км/ч, переведем время из суток в часы. В одних сутках 24 часа.

Плановое время в пути: $t_1 = 2,25 \text{ суток} = 2,25 \cdot 24 = 54$ часа.

Фактическое время в пути: $t_2 = 2 \text{ суток} = 2 \cdot 24 = 48$ часов.

Теперь мы можем составить два уравнения для нахождения расстояния $S$:

1. Исходя из плановых данных: $S = v \cdot t_1 = v \cdot 54$

2. Исходя из фактических данных: $S = (v + 2,5) \cdot t_2 = (v + 2,5) \cdot 48$

Так как расстояние, которое прошел теплоход, в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих уравнений, чтобы найти неизвестную плановую скорость $v$:

$54v = 48(v + 2,5)$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$54v = 48v + 48 \cdot 2,5$

$54v = 48v + 120$

Перенесем слагаемые с переменной $v$ в левую часть уравнения:

$54v - 48v = 120$

$6v = 120$

$v = \frac{120}{6}$

$v = 20$ (км/ч)

Таким образом, плановая скорость теплохода составляла 20 км/ч. Теперь, зная скорость, мы можем найти расстояние $S$, подставив значение $v$ в любое из двух первоначальных уравнений. Воспользуемся первым:

$S = 54 \cdot v = 54 \cdot 20 = 1080$ км.

Для проверки можно рассчитать расстояние, используя данные о фактическом движении:

$S = 48 \cdot (20 + 2,5) = 48 \cdot 22,5 = 1080$ км.

Оба расчета дали одинаковый результат, следовательно, задача решена верно.

Ответ: 1080 км.

968. Один рабочий выполняет некоторую работу за 24 дня, другой рабочий ту же работу может выполнить за 48 дней. За сколько дней будет выполнена эта работа, если рабочие будут работать вместе?

Для решения этой задачи примем весь объем работы за 1 (одну целую единицу).

Производительность (скорость выполнения работы) первого рабочего составляет $ \frac{1}{24} $ часть работы в день, так как он выполняет всю работу за 24 дня.

Производительность второго рабочего составляет $ \frac{1}{48} $ часть работы в день, так как ему на всю работу требуется 48 дней.

При совместной работе их производительности складываются. Найдем общую производительность двух рабочих в день:

$ \frac{1}{24} + \frac{1}{48} $

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 48:

$ \frac{1 \cdot 2}{24 \cdot 2} + \frac{1}{48} = \frac{2}{48} + \frac{1}{48} = \frac{3}{48} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$ \frac{3}{48} = \frac{1}{16} $

Таким образом, общая производительность рабочих составляет $ \frac{1}{16} $ часть работы в день. Это означает, что работая вместе, они выполняют $ \frac{1}{16} $ всей работы за один день.

Теперь, чтобы найти, за сколько дней они выполнят всю работу (1), нужно разделить объем работы на их общую производительность:

$ T = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 1 \cdot \frac{16}{1} = 16 $ дней.

Ответ: работа будет выполнена за 16 дней.

969. При уборке урожая было собрано 4556 ц яровой пшеницы с общей площади 174 га, причём на целинных землях собрано по 30 ц с 1 га, а на остальной площади — по 22 ц с 1 га. Сколько гектаров целинных земель было освоено?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод, составив уравнение. Пусть $x$ — это искомая площадь целинных земель в гектарах (га).

Тогда площадь остальной земли будет равна разности общей площади и площади целинных земель:

$(174 - x)$ га.

Урожай, собранный с целинных земель, равен произведению площади этих земель на урожайность с одного гектара:

$30x$ центнеров.

Урожай, собранный с остальной площади, равен:

$22 \cdot (174 - x)$ центнеров.

Общий урожай, согласно условию, составляет 4556 центнеров. Мы можем составить уравнение, сложив урожай с обоих участков:

$30x + 22(174 - x) = 4556$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

1. Раскроем скобки:

$30x + 22 \cdot 174 - 22x = 4556$

$30x + 3828 - 22x = 4556$

2. Сгруппируем члены с переменной $x$ в левой части, а числовые значения — в правой:

$30x - 22x = 4556 - 3828$

$8x = 728$

3. Найдем значение $x$:

$x = \frac{728}{8}$

$x = 91$

Таким образом, площадь целинных земель, которые были освоены, составляет 91 гектар.

Проверка:

Площадь целинных земель: $91$ га.

Площадь остальной земли: $174 - 91 = 83$ га.

Урожай с целинных земель: $91 \text{ га} \times 30 \text{ ц/га} = 2730$ ц.

Урожай с остальной земли: $83 \text{ га} \times 22 \text{ ц/га} = 1826$ ц.

Общий урожай: $2730 \text{ ц} + 1826 \text{ ц} = 4556$ ц, что соответствует условию задачи.

Ответ: было освоено 91 гектар целинных земель.

970. Разность двух чисел относится к их произведению как $1 : 24$, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа.

Пусть искомые числа будут $x$ и $y$. Для определенности будем считать, что $x$ больше $y$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений.

Первое условие: разность двух чисел относится к их произведению как 1:24.
Математически это записывается так:
$\frac{x - y}{xy} = \frac{1}{24}$

Второе условие: сумма этих чисел в 5 раз больше их разности.
Математически это записывается так:
$x + y = 5(x - y)$

Теперь решим эту систему уравнений. Начнем с упрощения второго уравнения, чтобы выразить одну переменную через другую.

$x + y = 5x - 5y$
Перенесем слагаемые с $y$ в левую часть, а с $x$ — в правую:
$y + 5y = 5x - x$
$6y = 4x$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3y = 2x$
Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{3}{2}y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\frac{\frac{3}{2}y - y}{(\frac{3}{2}y) \cdot y} = \frac{1}{24}$

Упростим выражение в левой части. Сначала выполним вычитание в числителе:

$\frac{3}{2}y - y = \frac{3}{2}y - \frac{2}{2}y = \frac{1}{2}y$

Теперь упростим знаменатель:

$(\frac{3}{2}y) \cdot y = \frac{3}{2}y^2$

Подставим упрощенные части обратно в уравнение:

$\frac{\frac{1}{2}y}{\frac{3}{2}y^2} = \frac{1}{24}$

Сократим дробь в левой части:

$\frac{1 \cdot y}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot y^2} = \frac{1}{3y}$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$\frac{1}{3y} = \frac{1}{24}$

Из этого равенства следует, что их знаменатели равны:

$3y = 24$
$y = \frac{24}{3}$
$y = 8$

Мы нашли одно из чисел. Теперь найдем второе число, $x$, используя соотношение $x = \frac{3}{2}y$:

$x = \frac{3}{2} \cdot 8 = 3 \cdot 4 = 12$

Итак, искомые числа — 12 и 8.

Проверим найденные числа:
1. Разность: $12 - 8 = 4$. Произведение: $12 \cdot 8 = 96$. Отношение $\frac{4}{96} = \frac{1}{24}$. Условие выполняется.
2. Сумма: $12 + 8 = 20$. Разность: $4$. Сумма в 5 раз больше разности, так как $20 = 5 \cdot 4$. Условие выполняется.

Ответ: 12 и 8.

971. Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 7500 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 50 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 5000 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество билетов, которое приобрела первая организация, а $y$ — цена одного билета для первой организации в рублях.

Исходя из условия, что первая организация потратила 7500 рублей, составим первое уравнение:

$x \cdot y = 7500$

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, то есть $(x - 5)$ билетов. Цена каждого билета была на 50 рублей меньше, то есть $(y - 50)$ рублей. Всего вторая организация заплатила 5000 рублей. Составим второе уравнение:

$(x - 5)(y - 50) = 5000$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} xy = 7500 \\ (x-5)(y-50) = 5000 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = \frac{7500}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 5)\left(\frac{7500}{x} - 50\right) = 5000$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{7500}{x} - 50x - 5 \cdot \frac{7500}{x} + 5 \cdot 50 = 5000$

$7500 - 50x - \frac{37500}{x} + 250 = 5000$

Приведем подобные слагаемые:

$7750 - 50x - \frac{37500}{x} = 5000$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$ (мы можем это сделать, так как $x$, количество билетов, не может быть равно нулю):

$7750x - 50x^2 - 37500 = 5000x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$50x^2 - 7750x + 5000x + 37500 = 0$

$50x^2 - 2750x + 37500 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 50:

$x^2 - 55x + 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + \sqrt{25}}{2} = \frac{55 + 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - \sqrt{25}}{2} = \frac{55 - 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому оба могут быть решением. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1. Если первая организация купила $x = 30$ билетов.

Тогда вторая организация купила $x - 5 = 30 - 5 = 25$ билетов. Проверим, выполняются ли остальные условия. Цена билета для первой организации: $y = 7500 / 30 = 250$ рублей. Цена билета для второй: $250 - 50 = 200$ рублей. Сумма, уплаченная второй организацией: $25 \cdot 200 = 5000$ рублей. Это соответствует условию задачи.

Случай 2. Если первая организация купила $x = 25$ билетов.

Тогда вторая организация купила $x - 5 = 25 - 5 = 20$ билетов. Проверим условия. Цена билета для первой организации: $y = 7500 / 25 = 300$ рублей. Цена билета для второй: $300 - 50 = 250$ рублей. Сумма, уплаченная второй организацией: $20 \cdot 250 = 5000$ рублей. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных варианта решения.

Ответ: Первая организация купила 30 билетов, а вторая — 25 билетов, или первая организация купила 25 билетов, а вторая — 20 билетов.

972. Три дроби имеют числители, равные единице. Сумма этих дробей равна 1. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби. Найти эти дроби.

Пусть искомые три дроби с числителем, равным единице, будут $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ и $\frac{1}{z}$, где $x, y, z$ - это их знаменатели.

Исходя из условий задачи, составим систему из трех уравнений:

1. Сумма этих дробей равна 1: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

2. Разность между первой и второй дробями равна третьей дроби: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$.

3. Сумма первых двух дробей в 5 раз больше третьей дроби: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \cdot \frac{1}{z}$.

Теперь решим эту систему уравнений. Удобно начать с последних двух уравнений, чтобы выразить первую и вторую дроби через третью.

Сложим второе и третье уравнения: $(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) + (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = \frac{1}{z} + \frac{5}{z}$

$2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{z}$

Разделив обе части на 2, получим: $\frac{1}{x} = \frac{3}{z}$.

Теперь вычтем второе уравнение из третьего: $(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) - (\frac{1}{x} - \frac{1}{y}) = \frac{5}{z} - \frac{1}{z}$

$2 \cdot \frac{1}{y} = \frac{4}{z}$

Разделив обе части на 2, получим: $\frac{1}{y} = \frac{2}{z}$.

Теперь у нас есть выражения для $\frac{1}{x}$ и $\frac{1}{y}$ через $z$. Подставим их в первое уравнение системы: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

$\frac{3}{z} + \frac{2}{z} + \frac{1}{z} = 1$

$\frac{3+2+1}{z} = 1$

$\frac{6}{z} = 1$, откуда следует, что $z=6$.

Таким образом, третья дробь равна $\frac{1}{6}$.

Теперь, зная $z$, легко найти $x$ и $y$:

Для первой дроби: $\frac{1}{x} = \frac{3}{z} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Следовательно, первая дробь - это $\frac{1}{2}$.

Для второй дроби: $\frac{1}{y} = \frac{2}{z} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Следовательно, вторая дробь - это $\frac{1}{3}$.

Итак, мы нашли три дроби: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{6}$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные дроби всем условиям задачи:

1. Сумма: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$. (Верно)

2. Разность первой и второй: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. (Верно)

3. Сумма первых двух и ее отношение к третьей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$. Эта величина действительно в 5 раз больше третьей дроби $\frac{1}{6}$, так как $5 \times \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. (Верно)

Ответ: Искомые дроби: $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{6}$.

973. Бригада рабочих должна была к определённому сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?

Пусть $v_{план}$ — плановая дневная норма производительности (деталей в день), а $d_{план}$ — плановый срок выполнения работы в днях.

По условию, бригада должна была изготовить 360 деталей. Это можно выразить формулой:
$v_{план} \cdot d_{план} = 360$

Отсюда можно выразить плановый срок через плановую норму:
$d_{план} = \frac{360}{v_{план}}$

Фактическая дневная норма $v_{факт}$ была на 9 деталей больше плановой:
$v_{факт} = v_{план} + 9$

Бригада работала с повышенной производительностью и за день до планового срока, то есть за $(d_{план} - 1)$ дней, перевыполнила план на 5%. Найдем, сколько деталей было изготовлено к этому моменту:
$360 \cdot 1.05 = 378$ деталей.

Это количество деталей было изготовлено с фактической производительностью за фактическое время. Составим второе уравнение:
$v_{факт} \cdot (d_{план} - 1) = 378$

Теперь подставим выражения для $v_{факт}$ и $d_{план}$ в это уравнение, чтобы получить уравнение с одной неизвестной $v_{план}$:
$(v_{план} + 9) \cdot (\frac{360}{v_{план}} - 1) = 378$

Решим это уравнение. Для удобства заменим $v_{план}$ на $x$:
$(x + 9) \cdot (\frac{360 - x}{x}) = 378$
$(x + 9)(360 - x) = 378x$
$360x - x^2 + 3240 - 9x = 378x$
$-x^2 + 351x + 3240 = 378x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 378x - 351x - 3240 = 0$
$x^2 + 27x - 3240 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3240) = 729 + 12960 = 13689$
$\sqrt{D} = \sqrt{13689} = 117$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 + 117}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-27 - 117}{2} = \frac{-144}{2} = -72$

Так как производительность не может быть отрицательной, плановая норма составляет $v_{план} = 45$ деталей в день.

Фактическая производительность бригады:
$v_{факт} = 45 + 9 = 54$ детали в день.

Плановый срок выполнения работы:
$d_{план} = \frac{360}{45} = 8$ дней.

В задаче спрашивается, сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же (фактической) производительностью. Это означает, что нужно найти, сколько деталей бригада изготовит за плановый срок (8 дней), работая с фактической производительностью (54 детали в день).
Количество деталей = $v_{факт} \cdot d_{план} = 54 \cdot 8 = 432$ детали.

Ответ: к сроку бригада изготовит 432 детали.

974. Катер отправился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ (км/ч) — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_p$ (км/ч) — скорость течения реки. Поскольку плот не имеет собственного двигателя, его скорость равна скорости течения реки.

Тогда скорость катера по течению составляет $(v_k + v_p)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$ км/ч.

1. Анализ первого условия.

Катер отправился вниз по реке и через 36 км догнал плот. Плот вышел на 10 часов раньше. Пусть $t$ — время движения катера до встречи с плотом. Тогда время движения плота до встречи составит $(t + 10)$ часов.

Катер прошел 36 км по течению, значит, его время в пути: $t = \frac{36}{v_k + v_p}$

Плот за свое время в пути также прошел 36 км. Его скорость равна $v_p$: $36 = v_p \cdot (t + 10)$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе: $36 = v_p \cdot \left(\frac{36}{v_k + v_p} + 10\right)$

Разделим обе части уравнения на 36: $1 = v_p \cdot \left(\frac{1}{v_k + v_p} + \frac{10}{36}\right)$

$1 = \frac{v_p}{v_k + v_p} + \frac{10v_p}{36}$

Домножим обе части на $36(v_k + v_p)$, чтобы избавиться от знаменателей: $36(v_k + v_p) = 36v_p + 10v_p(v_k + v_p)$

$36v_k + 36v_p = 36v_p + 10v_p v_k + 10v_p^2$

$36v_k = 10v_p v_k + 10v_p^2$

Разделим на 2: $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$ (1)

2. Анализ второго условия.

Если бы катер и плот отправились одновременно, то катер, пройдя 30 км вниз по течению и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от причала.

Это означает, что к моменту встречи плот проплыл 10 км. Время, которое плот был в пути, составляет: $t_{встречи} = \frac{10}{v_p}$

За это же время катер проделал следующий путь:

• 30 км вниз по течению со скоростью $(v_k + v_p)$. Время на этот участок: $t_1 = \frac{30}{v_k + v_p}$.
• Затем катер повернул обратно и двигался против течения до точки встречи (10 км от причала). Расстояние, которое он прошел против течения, равно $30 - 10 = 20$ км. Скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$. Время на этот участок: $t_2 = \frac{20}{v_k - v_p}$.

Общее время движения катера до встречи равно времени движения плота: $t_{встречи} = t_1 + t_2$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30}{v_k + v_p} + \frac{20}{v_k - v_p}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{10}{v_p} = \frac{30(v_k - v_p) + 20(v_k + v_p)}{(v_k + v_p)(v_k - v_p)}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30v_k - 30v_p + 20v_k + 20v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{50v_k - 10v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Разделим обе части на 10: $\frac{1}{v_p} = \frac{5v_k - v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Используем свойство пропорции: $v_k^2 - v_p^2 = v_p(5v_k - v_p)$

$v_k^2 - v_p^2 = 5v_k v_p - v_p^2$

$v_k^2 = 5v_k v_p$

Так как собственная скорость катера $v_k$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части на $v_k$: $v_k = 5v_p$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$
2. $v_k = 5v_p$

Подставим второе уравнение в первое, заменив $v_k$ на $5v_p$: $18(5v_p) = 5v_p(5v_p) + 5v_p^2$

$90v_p = 25v_p^2 + 5v_p^2$

$90v_p = 30v_p^2$

Так как скорость течения реки $v_p$ не равна нулю, мы можем разделить обе части на $30v_p$: $v_p = \frac{90}{30}$

$v_p = 3$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера, используя соотношение (2): $v_k = 5v_p = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера равна 15 км/ч.