Номер 971, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 971, страница 339.

Условие.

971. Две организации приобрели театральные билеты. Первая организация израсходовала на билеты 7500 р., а вторая, купившая на 5 билетов меньше и заплатившая за каждый билет на 50 р. меньше первой организации, уплатила за билеты 5000 р. Сколько театральных билетов купила каждая организация?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это количество билетов, которое приобрела первая организация, а $y$ — цена одного билета для первой организации в рублях.

Исходя из условия, что первая организация потратила 7500 рублей, составим первое уравнение:

$x \cdot y = 7500$

Вторая организация купила на 5 билетов меньше, то есть $(x - 5)$ билетов. Цена каждого билета была на 50 рублей меньше, то есть $(y - 50)$ рублей. Всего вторая организация заплатила 5000 рублей. Составим второе уравнение:

$(x - 5)(y - 50) = 5000$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} xy = 7500 \\ (x-5)(y-50) = 5000 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = \frac{7500}{x}$

Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(x - 5)\left(\frac{7500}{x} - 50\right) = 5000$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x \cdot \frac{7500}{x} - 50x - 5 \cdot \frac{7500}{x} + 5 \cdot 50 = 5000$

$7500 - 50x - \frac{37500}{x} + 250 = 5000$

Приведем подобные слагаемые:

$7750 - 50x - \frac{37500}{x} = 5000$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на $x$ (мы можем это сделать, так как $x$, количество билетов, не может быть равно нулю):

$7750x - 50x^2 - 37500 = 5000x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$50x^2 - 7750x + 5000x + 37500 = 0$

$50x^2 - 2750x + 37500 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 50:

$x^2 - 55x + 750 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-55)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 750 = 3025 - 3000 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 + \sqrt{25}}{2} = \frac{55 + 5}{2} = \frac{60}{2} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{55 - \sqrt{25}}{2} = \frac{55 - 5}{2} = \frac{50}{2} = 25$

Оба корня являются положительными целыми числами, поэтому оба могут быть решением. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1. Если первая организация купила $x = 30$ билетов.

Тогда вторая организация купила $x - 5 = 30 - 5 = 25$ билетов. Проверим, выполняются ли остальные условия. Цена билета для первой организации: $y = 7500 / 30 = 250$ рублей. Цена билета для второй: $250 - 50 = 200$ рублей. Сумма, уплаченная второй организацией: $25 \cdot 200 = 5000$ рублей. Это соответствует условию задачи.

Случай 2. Если первая организация купила $x = 25$ билетов.

Тогда вторая организация купила $x - 5 = 25 - 5 = 20$ билетов. Проверим условия. Цена билета для первой организации: $y = 7500 / 25 = 300$ рублей. Цена билета для второй: $300 - 50 = 250$ рублей. Сумма, уплаченная второй организацией: $20 \cdot 250 = 5000$ рублей. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два возможных варианта решения.

Ответ: Первая организация купила 30 билетов, а вторая — 25 билетов, или первая организация купила 25 билетов, а вторая — 20 билетов.