Номер 975, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 975, страница 340.

Условие.

975. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость плота. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки.

Согласно условию, скорость моторной лодки по течению на 48 км/ч больше скорости плота. Обозначим скорость лодки как $v_л$. Тогда:$v_л = v_п + 48$ (км/ч).

И плот, и моторная лодка прошли одинаковое расстояние $S = 17$ км до момента встречи.

Время, которое затратила на этот путь моторная лодка, вычисляется по формуле $t = S/v$:$t_л = \frac{17}{v_л} = \frac{17}{v_п + 48}$ (ч).

Время, которое затратил на этот же путь плот, составляет:$t_п = \frac{17}{v_п}$ (ч).

По условию, лодка отправилась в путь на 5 часов 20 минут позже плота. Это значит, что время движения плота было на 5 ч 20 мин больше, чем время движения лодки. Переведем разницу во времени в часы:$5 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч } = 5 \frac{1}{3} \text{ ч } = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени движения плота и лодки к вычисленному значению:$t_п - t_л = \frac{16}{3}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_п$ и $t_л$:$\frac{17}{v_п} - \frac{17}{v_п + 48} = \frac{16}{3}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{17(v_п + 48) - 17v_п}{v_п(v_п + 48)} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель в левой части:$\frac{17v_п + 17 \cdot 48 - 17v_п}{v_п^2 + 48v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{816}{v_п^2 + 48v_п} = \frac{16}{3}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$16 \cdot (v_п^2 + 48v_п) = 816 \cdot 3$$16(v_п^2 + 48v_п) = 2448$

Разделим обе части уравнения на 16:$v_п^2 + 48v_п = \frac{2448}{16}$$v_п^2 + 48v_п = 153$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v_п^2 + 48v_п - 153 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-153) = 2304 + 612 = 2916$

Найдем корни уравнения по формуле $v_п = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$v_п = \frac{-48 \pm \sqrt{2916}}{2 \cdot 1} = \frac{-48 \pm 54}{2}$

Уравнение имеет два корня:$v_{п1} = \frac{-48 + 54}{2} = \frac{6}{2} = 3$$v_{п2} = \frac{-48 - 54}{2} = \frac{-102}{2} = -51$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{п2} = -51$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость плота составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.