Номер 976, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 976, страница 340.

Условие.

976. При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с 1 га на каждом участке, если урожай пшеницы с 1 ц на первом участке был на 1 ц больше, чем на втором?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $U_1$ (ц/га) – урожайность пшеницы на первом участке.
• Пусть $U_2$ (ц/га) – урожайность пшеницы на втором участке.
• Пусть $S_1$ (га) – площадь первого участка.
• Пусть $S_2$ (га) – площадь второго участка.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений:

1. С каждого участка собрали по 210 ц пшеницы. Общий урожай равен произведению площади на урожайность:

$S_1 \cdot U_1 = 210$

$S_2 \cdot U_2 = 210$

2. Площадь первого участка на 0,5 га меньше площади второго:

$S_1 = S_2 - 0.5$

3. Урожайность на первом участке на 1 ц/га больше, чем на втором:

$U_1 = U_2 + 1$

Для решения этой системы уравнений выразим площади $S_1$ и $S_2$ через урожайности из первых двух уравнений:

$S_1 = \frac{210}{U_1}$

$S_2 = \frac{210}{U_2}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее площади ($S_1 = S_2 - 0.5$):

$\frac{210}{U_1} = \frac{210}{U_2} - 0.5$

Теперь в это уравнение подставим выражение для $U_1$ из четвертого уравнения системы ($U_1 = U_2 + 1$), чтобы получить уравнение с одной неизвестной $U_2$:

$\frac{210}{U_2 + 1} = \frac{210}{U_2} - 0.5$

Перенесем дроби в одну сторону, чтобы упростить уравнение:

$\frac{210}{U_2} - \frac{210}{U_2 + 1} = 0.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $U_2(U_2 + 1)$:

$\frac{210(U_2 + 1) - 210U_2}{U_2(U_2 + 1)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{210U_2 + 210 - 210U_2}{U_2^2 + U_2} = 0.5$

$\frac{210}{U_2^2 + U_2} = 0.5$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $U_2^2 + U_2$ (при условии, что $U_2 \neq 0$ и $U_2 \neq -1$, что соответствует смыслу задачи):

$210 = 0.5(U_2^2 + U_2)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$420 = U_2^2 + U_2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$U_2^2 + U_2 - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни уравнения по формуле $U_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$U_{2,1} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$U_{2,2} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как урожайность ($U_2$) не может быть отрицательным числом, второй корень не имеет физического смысла. Таким образом, урожайность на втором участке равна 20 ц/га.

Теперь найдем урожайность на первом участке, используя соотношение $U_1 = U_2 + 1$:

$U_1 = 20 + 1 = 21$

Итак, урожайность на первом участке – 21 ц/га, а на втором – 20 ц/га.

Проведем проверку. Найдем площади участков:

Площадь первого участка: $S_1 = \frac{210}{U_1} = \frac{210}{21} = 10$ га.

Площадь второго участка: $S_2 = \frac{210}{U_2} = \frac{210}{20} = 10.5$ га.

Проверим условия задачи:

Разница площадей: $S_1 = S_2 - 0.5 \Rightarrow 10 = 10.5 - 0.5$. Верно.

Разница урожайности: $U_1 = U_2 + 1 \Rightarrow 21 = 20 + 1$. Верно.

Ответ: с первого участка собрано 21 центнер пшеницы с 1 гектара, а со второго – 20 центнеров с 1 гектара.