Номер 974, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 974, страница 339.

Условие.

974. Катер отправился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_k$ (км/ч) — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_p$ (км/ч) — скорость течения реки. Поскольку плот не имеет собственного двигателя, его скорость равна скорости течения реки.

Тогда скорость катера по течению составляет $(v_k + v_p)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$ км/ч.

1. Анализ первого условия.

Катер отправился вниз по реке и через 36 км догнал плот. Плот вышел на 10 часов раньше. Пусть $t$ — время движения катера до встречи с плотом. Тогда время движения плота до встречи составит $(t + 10)$ часов.

Катер прошел 36 км по течению, значит, его время в пути: $t = \frac{36}{v_k + v_p}$

Плот за свое время в пути также прошел 36 км. Его скорость равна $v_p$: $36 = v_p \cdot (t + 10)$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе: $36 = v_p \cdot \left(\frac{36}{v_k + v_p} + 10\right)$

Разделим обе части уравнения на 36: $1 = v_p \cdot \left(\frac{1}{v_k + v_p} + \frac{10}{36}\right)$

$1 = \frac{v_p}{v_k + v_p} + \frac{10v_p}{36}$

Домножим обе части на $36(v_k + v_p)$, чтобы избавиться от знаменателей: $36(v_k + v_p) = 36v_p + 10v_p(v_k + v_p)$

$36v_k + 36v_p = 36v_p + 10v_p v_k + 10v_p^2$

$36v_k = 10v_p v_k + 10v_p^2$

Разделим на 2: $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$ (1)

2. Анализ второго условия.

Если бы катер и плот отправились одновременно, то катер, пройдя 30 км вниз по течению и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от причала.

Это означает, что к моменту встречи плот проплыл 10 км. Время, которое плот был в пути, составляет: $t_{встречи} = \frac{10}{v_p}$

За это же время катер проделал следующий путь:

• 30 км вниз по течению со скоростью $(v_k + v_p)$. Время на этот участок: $t_1 = \frac{30}{v_k + v_p}$.
• Затем катер повернул обратно и двигался против течения до точки встречи (10 км от причала). Расстояние, которое он прошел против течения, равно $30 - 10 = 20$ км. Скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$. Время на этот участок: $t_2 = \frac{20}{v_k - v_p}$.

Общее время движения катера до встречи равно времени движения плота: $t_{встречи} = t_1 + t_2$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30}{v_k + v_p} + \frac{20}{v_k - v_p}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{10}{v_p} = \frac{30(v_k - v_p) + 20(v_k + v_p)}{(v_k + v_p)(v_k - v_p)}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30v_k - 30v_p + 20v_k + 20v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{50v_k - 10v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Разделим обе части на 10: $\frac{1}{v_p} = \frac{5v_k - v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Используем свойство пропорции: $v_k^2 - v_p^2 = v_p(5v_k - v_p)$

$v_k^2 - v_p^2 = 5v_k v_p - v_p^2$

$v_k^2 = 5v_k v_p$

Так как собственная скорость катера $v_k$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части на $v_k$: $v_k = 5v_p$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$
2. $v_k = 5v_p$

Подставим второе уравнение в первое, заменив $v_k$ на $5v_p$: $18(5v_p) = 5v_p(5v_p) + 5v_p^2$

$90v_p = 25v_p^2 + 5v_p^2$

$90v_p = 30v_p^2$

Так как скорость течения реки $v_p$ не равна нулю, мы можем разделить обе части на $30v_p$: $v_p = \frac{90}{30}$

$v_p = 3$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера, используя соотношение (2): $v_k = 5v_p = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера равна 15 км/ч.