Номер 974, страница 339 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 974, страница 339.

№974 (с. 339)
Условие. №974 (с. 339)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 339, номер 974, Условие

974. Катер отправился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Решение 1. №974 (с. 339)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 339, номер 974, Решение 1
Решение 2. №974 (с. 339)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 339, номер 974, Решение 2
Решение 3. №974 (с. 339)

Для решения задачи введем следующие обозначения:

  • $v_k$ (км/ч) — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
  • $v_p$ (км/ч) — скорость течения реки. Поскольку плот не имеет собственного двигателя, его скорость равна скорости течения реки.

Тогда скорость катера по течению составляет $(v_k + v_p)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$ км/ч.

1. Анализ первого условия.

Катер отправился вниз по реке и через 36 км догнал плот. Плот вышел на 10 часов раньше. Пусть $t$ — время движения катера до встречи с плотом. Тогда время движения плота до встречи составит $(t + 10)$ часов.

Катер прошел 36 км по течению, значит, его время в пути: $t = \frac{36}{v_k + v_p}$

Плот за свое время в пути также прошел 36 км. Его скорость равна $v_p$: $36 = v_p \cdot (t + 10)$

Подставим выражение для $t$ из первого уравнения во второе: $36 = v_p \cdot \left(\frac{36}{v_k + v_p} + 10\right)$

Разделим обе части уравнения на 36: $1 = v_p \cdot \left(\frac{1}{v_k + v_p} + \frac{10}{36}\right)$

$1 = \frac{v_p}{v_k + v_p} + \frac{10v_p}{36}$

Домножим обе части на $36(v_k + v_p)$, чтобы избавиться от знаменателей: $36(v_k + v_p) = 36v_p + 10v_p(v_k + v_p)$

$36v_k + 36v_p = 36v_p + 10v_p v_k + 10v_p^2$

$36v_k = 10v_p v_k + 10v_p^2$

Разделим на 2: $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$ (1)

2. Анализ второго условия.

Если бы катер и плот отправились одновременно, то катер, пройдя 30 км вниз по течению и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от причала.

Это означает, что к моменту встречи плот проплыл 10 км. Время, которое плот был в пути, составляет: $t_{встречи} = \frac{10}{v_p}$

За это же время катер проделал следующий путь:

  • 30 км вниз по течению со скоростью $(v_k + v_p)$. Время на этот участок: $t_1 = \frac{30}{v_k + v_p}$.
  • Затем катер повернул обратно и двигался против течения до точки встречи (10 км от причала). Расстояние, которое он прошел против течения, равно $30 - 10 = 20$ км. Скорость катера против течения — $(v_k - v_p)$. Время на этот участок: $t_2 = \frac{20}{v_k - v_p}$.

Общее время движения катера до встречи равно времени движения плота: $t_{встречи} = t_1 + t_2$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30}{v_k + v_p} + \frac{20}{v_k - v_p}$

Приведем правую часть к общему знаменателю: $\frac{10}{v_p} = \frac{30(v_k - v_p) + 20(v_k + v_p)}{(v_k + v_p)(v_k - v_p)}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{30v_k - 30v_p + 20v_k + 20v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

$\frac{10}{v_p} = \frac{50v_k - 10v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Разделим обе части на 10: $\frac{1}{v_p} = \frac{5v_k - v_p}{v_k^2 - v_p^2}$

Используем свойство пропорции: $v_k^2 - v_p^2 = v_p(5v_k - v_p)$

$v_k^2 - v_p^2 = 5v_k v_p - v_p^2$

$v_k^2 = 5v_k v_p$

Так как собственная скорость катера $v_k$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части на $v_k$: $v_k = 5v_p$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

  1. $18v_k = 5v_p v_k + 5v_p^2$
  2. $v_k = 5v_p$

Подставим второе уравнение в первое, заменив $v_k$ на $5v_p$: $18(5v_p) = 5v_p(5v_p) + 5v_p^2$

$90v_p = 25v_p^2 + 5v_p^2$

$90v_p = 30v_p^2$

Так как скорость течения реки $v_p$ не равна нулю, мы можем разделить обе части на $30v_p$: $v_p = \frac{90}{30}$

$v_p = 3$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера, используя соотношение (2): $v_k = 5v_p = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: собственная скорость катера равна 15 км/ч.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 974 расположенного на странице 339 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №974 (с. 339), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.