Номер 978, страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 978, страница 340.

Условие.

978. Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомые четыре числа являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, b_4$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

$b_1$

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Третье число больше первого на 9: $b_3 = b_1 + 9$. Подставив выражение для $b_3$, получим: $b_1q^2 = b_1 + 9$.

2. Второе число больше четвёртого на 18: $b_2 = b_4 + 18$. Подставив выражения для $b_2$ и $b_4$, получим: $b_1q = b_1q^3 + 18$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1q^2 - b_1 = 9 \\ b_1q - b_1q^3 = 18 \end{cases} $

Преобразуем систему, вынеся $b_1$ за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q^2 - 1) = 9 & (1) \\ b_1q(1 - q^2) = 18 & (2) \end{cases} $

Выразим $1 - q^2$ во втором уравнении через $q^2 - 1$ из первого: $1 - q^2 = -(q^2 - 1)$.

Тогда второе уравнение примет вид: $b_1q(-(q^2 - 1)) = 18$, или $-b_1q(q^2 - 1) = 18$.

Теперь разделим полученное второе уравнение на первое уравнение системы. Такое деление возможно, так как если бы $q^2-1=0$, то из первого уравнения следовало бы $0=9$, что неверно. Также $b_1 \neq 0$, иначе все члены прогрессии равны нулю, и условия задачи не выполнялись бы.

$ \frac{-b_1q(q^2 - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{18}{9} $

Сократив дробь в левой части, получаем:

$-q = 2$, откуда $q = -2$.

Теперь, зная знаменатель прогрессии, найдем ее первый член. Для этого подставим значение $q = -2$ в первое уравнение системы $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1((-2)^2 - 1) = 9$

$b_1(4 - 1) = 9$

$b_1 \cdot 3 = 9$

$b_1 = 3$

Итак, первый член прогрессии $b_1=3$, а знаменатель $q=-2$. Найдем все четыре числа:

$b_1 = 3$

$b_2 = b_1q = 3 \cdot (-2) = -6$

$b_3 = b_1q^2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

$b_4 = b_1q^3 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$

Проверим, выполняются ли условия задачи для найденных чисел 3, -6, 12, -24:

1. Третье число (12) больше первого (3) на $12 - 3 = 9$. Условие выполнено.

2. Второе число (-6) больше четвертого (-24) на $-6 - (-24) = -6 + 24 = 18$. Условие выполнено.

Ответ: 3, -6, 12, -24.