Страница 340 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

975. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 17 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки по течению больше скорости плота на 48 км/ч?

Пусть $v_п$ (км/ч) — скорость плота. Поскольку плот движется по течению, его скорость равна скорости течения реки.

Согласно условию, скорость моторной лодки по течению на 48 км/ч больше скорости плота. Обозначим скорость лодки как $v_л$. Тогда:$v_л = v_п + 48$ (км/ч).

И плот, и моторная лодка прошли одинаковое расстояние $S = 17$ км до момента встречи.

Время, которое затратила на этот путь моторная лодка, вычисляется по формуле $t = S/v$:$t_л = \frac{17}{v_л} = \frac{17}{v_п + 48}$ (ч).

Время, которое затратил на этот же путь плот, составляет:$t_п = \frac{17}{v_п}$ (ч).

По условию, лодка отправилась в путь на 5 часов 20 минут позже плота. Это значит, что время движения плота было на 5 ч 20 мин больше, чем время движения лодки. Переведем разницу во времени в часы:$5 \text{ ч } 20 \text{ мин } = 5 + \frac{20}{60} \text{ ч } = 5 \frac{1}{3} \text{ ч } = \frac{16}{3}$ ч.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу во времени движения плота и лодки к вычисленному значению:$t_п - t_л = \frac{16}{3}$

Подставим в это уравнение выражения для $t_п$ и $t_л$:$\frac{17}{v_п} - \frac{17}{v_п + 48} = \frac{16}{3}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю:$\frac{17(v_п + 48) - 17v_п}{v_п(v_п + 48)} = \frac{16}{3}$

Раскроем скобки и упростим числитель в левой части:$\frac{17v_п + 17 \cdot 48 - 17v_п}{v_п^2 + 48v_п} = \frac{16}{3}$

$\frac{816}{v_п^2 + 48v_п} = \frac{16}{3}$

Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$16 \cdot (v_п^2 + 48v_п) = 816 \cdot 3$$16(v_п^2 + 48v_п) = 2448$

Разделим обе части уравнения на 16:$v_п^2 + 48v_п = \frac{2448}{16}$$v_п^2 + 48v_п = 153$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$v_п^2 + 48v_п - 153 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):$D = 48^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-153) = 2304 + 612 = 2916$

Найдем корни уравнения по формуле $v_п = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:$v_п = \frac{-48 \pm \sqrt{2916}}{2 \cdot 1} = \frac{-48 \pm 54}{2}$

Уравнение имеет два корня:$v_{п1} = \frac{-48 + 54}{2} = \frac{6}{2} = 3$$v_{п2} = \frac{-48 - 54}{2} = \frac{-102}{2} = -51$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_{п2} = -51$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость плота составляет 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

976. При уборке урожая с каждого из двух участков собрано по 210 ц пшеницы. Площадь первого участка была на 0,5 га меньше площади второго участка. Сколько центнеров пшеницы собрано с 1 га на каждом участке, если урожай пшеницы с 1 ц на первом участке был на 1 ц больше, чем на втором?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $U_1$ (ц/га) – урожайность пшеницы на первом участке.
• Пусть $U_2$ (ц/га) – урожайность пшеницы на втором участке.
• Пусть $S_1$ (га) – площадь первого участка.
• Пусть $S_2$ (га) – площадь второго участка.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений:

1. С каждого участка собрали по 210 ц пшеницы. Общий урожай равен произведению площади на урожайность:

$S_1 \cdot U_1 = 210$

$S_2 \cdot U_2 = 210$

2. Площадь первого участка на 0,5 га меньше площади второго:

$S_1 = S_2 - 0.5$

3. Урожайность на первом участке на 1 ц/га больше, чем на втором:

$U_1 = U_2 + 1$

Для решения этой системы уравнений выразим площади $S_1$ и $S_2$ через урожайности из первых двух уравнений:

$S_1 = \frac{210}{U_1}$

$S_2 = \frac{210}{U_2}$

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее площади ($S_1 = S_2 - 0.5$):

$\frac{210}{U_1} = \frac{210}{U_2} - 0.5$

Теперь в это уравнение подставим выражение для $U_1$ из четвертого уравнения системы ($U_1 = U_2 + 1$), чтобы получить уравнение с одной неизвестной $U_2$:

$\frac{210}{U_2 + 1} = \frac{210}{U_2} - 0.5$

Перенесем дроби в одну сторону, чтобы упростить уравнение:

$\frac{210}{U_2} - \frac{210}{U_2 + 1} = 0.5$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $U_2(U_2 + 1)$:

$\frac{210(U_2 + 1) - 210U_2}{U_2(U_2 + 1)} = 0.5$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{210U_2 + 210 - 210U_2}{U_2^2 + U_2} = 0.5$

$\frac{210}{U_2^2 + U_2} = 0.5$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части на $U_2^2 + U_2$ (при условии, что $U_2 \neq 0$ и $U_2 \neq -1$, что соответствует смыслу задачи):

$210 = 0.5(U_2^2 + U_2)$

Умножим обе части уравнения на 2:

$420 = U_2^2 + U_2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$U_2^2 + U_2 - 420 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 1 + 1680 = 1681$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$.

Найдем корни уравнения по формуле $U_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$U_{2,1} = \frac{-1 + 41}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$U_{2,2} = \frac{-1 - 41}{2} = \frac{-42}{2} = -21$

Так как урожайность ($U_2$) не может быть отрицательным числом, второй корень не имеет физического смысла. Таким образом, урожайность на втором участке равна 20 ц/га.

Теперь найдем урожайность на первом участке, используя соотношение $U_1 = U_2 + 1$:

$U_1 = 20 + 1 = 21$

Итак, урожайность на первом участке – 21 ц/га, а на втором – 20 ц/га.

Проведем проверку. Найдем площади участков:

Площадь первого участка: $S_1 = \frac{210}{U_1} = \frac{210}{21} = 10$ га.

Площадь второго участка: $S_2 = \frac{210}{U_2} = \frac{210}{20} = 10.5$ га.

Проверим условия задачи:

Разница площадей: $S_1 = S_2 - 0.5 \Rightarrow 10 = 10.5 - 0.5$. Верно.

Разница урожайности: $U_1 = U_2 + 1 \Rightarrow 21 = 20 + 1$. Верно.

Ответ: с первого участка собрано 21 центнер пшеницы с 1 гектара, а со второго – 20 центнеров с 1 гектара.

977. Расстояние от дома до школы 700 м. Сколько шагов делает ученик от дома до школы, если его брат, шаг которого на 20 см длиннее, делает на 400 шагов меньше?

Для решения этой задачи составим уравнение, введя неизвестную переменную.

Пусть $x$ – количество шагов, которое делает ученик от дома до школы.
Тогда длина одного шага ученика в метрах равна $\frac{700}{x}$.

По условию, его брат делает на 400 шагов меньше. Значит, количество шагов брата равно $x - 400$.
Длина одного шага брата в метрах равна $\frac{700}{x - 400}$.

Также известно, что шаг брата на 20 см длиннее шага ученика. Переведем 20 см в метры: $20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$.

Теперь мы можем составить уравнение, выразив разницу в длине шагов:

$\frac{700}{x - 400} - \frac{700}{x} = 0,2$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x - 400)$:

$\frac{700x - 700(x - 400)}{x(x - 400)} = 0,2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{700x - 700x + 280000}{x^2 - 400x} = 0,2$

$\frac{280000}{x^2 - 400x} = 0,2$

Теперь умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 - 400x$ (учитывая, что $x \neq 0$ и $x \neq 400$):

$280000 = 0,2(x^2 - 400x)$

Разделим обе части на 0,2:

$1400000 = x^2 - 400x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 400x - 1400000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-400)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1400000) = 160000 + 5600000 = 5760000$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{5760000} = 2400$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{400 + 2400}{2} = \frac{2800}{2} = 1400$

$x_2 = \frac{400 - 2400}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000$

Поскольку количество шагов ($x$) не может быть отрицательным, единственным верным решением является $x = 1400$.

Ответ: ученик делает 1400 шагов.

978. Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18.

Пусть искомые четыре числа являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3, b_4$. Обозначим первый член прогрессии как $b_1$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда члены прогрессии можно выразить следующим образом:

$b_1$

$b_2 = b_1 \cdot q$

$b_3 = b_1 \cdot q^2$

$b_4 = b_1 \cdot q^3$

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:

1. Третье число больше первого на 9: $b_3 = b_1 + 9$. Подставив выражение для $b_3$, получим: $b_1q^2 = b_1 + 9$.

2. Второе число больше четвёртого на 18: $b_2 = b_4 + 18$. Подставив выражения для $b_2$ и $b_4$, получим: $b_1q = b_1q^3 + 18$.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} b_1q^2 - b_1 = 9 \\ b_1q - b_1q^3 = 18 \end{cases} $

Преобразуем систему, вынеся $b_1$ за скобки:

$ \begin{cases} b_1(q^2 - 1) = 9 & (1) \\ b_1q(1 - q^2) = 18 & (2) \end{cases} $

Выразим $1 - q^2$ во втором уравнении через $q^2 - 1$ из первого: $1 - q^2 = -(q^2 - 1)$.

Тогда второе уравнение примет вид: $b_1q(-(q^2 - 1)) = 18$, или $-b_1q(q^2 - 1) = 18$.

Теперь разделим полученное второе уравнение на первое уравнение системы. Такое деление возможно, так как если бы $q^2-1=0$, то из первого уравнения следовало бы $0=9$, что неверно. Также $b_1 \neq 0$, иначе все члены прогрессии равны нулю, и условия задачи не выполнялись бы.

$ \frac{-b_1q(q^2 - 1)}{b_1(q^2 - 1)} = \frac{18}{9} $

Сократив дробь в левой части, получаем:

$-q = 2$, откуда $q = -2$.

Теперь, зная знаменатель прогрессии, найдем ее первый член. Для этого подставим значение $q = -2$ в первое уравнение системы $b_1(q^2 - 1) = 9$:

$b_1((-2)^2 - 1) = 9$

$b_1(4 - 1) = 9$

$b_1 \cdot 3 = 9$

$b_1 = 3$

Итак, первый член прогрессии $b_1=3$, а знаменатель $q=-2$. Найдем все четыре числа:

$b_1 = 3$

$b_2 = b_1q = 3 \cdot (-2) = -6$

$b_3 = b_1q^2 = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

$b_4 = b_1q^3 = 3 \cdot (-2)^3 = 3 \cdot (-8) = -24$

Проверим, выполняются ли условия задачи для найденных чисел 3, -6, 12, -24:

1. Третье число (12) больше первого (3) на $12 - 3 = 9$. Условие выполнено.

2. Второе число (-6) больше четвертого (-24) на $-6 - (-24) = -6 + 24 = 18$. Условие выполнено.

Ответ: 3, -6, 12, -24.

979. Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии, обозначаемая $S_n$, вычисляется по формуле $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

По условию задачи, сумма первых трёх членов равна нулю, то есть $S_3 = 0$. Запишем это условие, используя члены прогрессии:

$S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 0$

Выразим $a_2$ и $a_3$ через $a_1$ и $d$:

$a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 0$

$3a_1 + 3d = 0$

$3(a_1 + d) = 0$

Из этого следует, что $a_1 + d = 0$. Так как второй член прогрессии $a_2 = a_1 + d$, мы получаем, что $a_2 = 0$.

Также по условию, сумма первых четырёх членов равна 1, то есть $S_4 = 1$.

Сумму первых четырёх членов можно представить как сумму первых трёх членов плюс четвёртый член: $S_4 = S_3 + a_4$.

Так как $S_3 = 0$, получаем $0 + a_4 = 1$, откуда следует, что $a_4 = 1$.

Теперь у нас есть значения двух членов прогрессии: $a_2 = 0$ и $a_4 = 1$. Мы можем использовать их, чтобы найти разность прогрессии $d$.

$a_4 = a_2 + 2d$

$1 = 0 + 2d$

$2d = 1$

$d = \frac{1}{2}$

Зная разность $d$ и второй член $a_2$, найдем первый член $a_1$:

$a_2 = a_1 + d$

$0 = a_1 + \frac{1}{2}$

$a_1 = -\frac{1}{2}$

Теперь, когда мы знаем первый член $a_1 = -\frac{1}{2}$ и разность $d = \frac{1}{2}$, мы можем найти сумму первых двенадцати членов прогрессии, $S_{12}$.

Воспользуемся формулой суммы:

$S_{12} = \frac{2a_1 + d(12-1)}{2} \cdot 12$

$S_{12} = (2a_1 + 11d) \cdot 6$

Подставим найденные значения $a_1$ и $d$:

$S_{12} = \left(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 11 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \left(-1 + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \left(-\frac{2}{2} + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$

$S_{12} = \frac{9}{2} \cdot 6 = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27

980. Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а сумма второго и третьего равна 12.

Обозначим искомые четыре числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Согласно условиям задачи:

• Первые три числа ($a_1, a_2, a_3$) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Из характеристического свойства геометрической прогрессии следует, что $a_2^2 = a_1 \cdot a_3$.
• Последние три числа ($a_2, a_3, a_4$) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Из характеристического свойства арифметической прогрессии следует, что $2a_3 = a_2 + a_4$.
• Сумма первого и четвёртого чисел равна 16: $a_1 + a_4 = 16$.
• Сумма второго и третьего чисел равна 12: $a_2 + a_3 = 12$.

Мы получили систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

$ \begin{cases} a_2^2 = a_1 \cdot a_3 \\ 2a_3 = a_2 + a_4 \\ a_1 + a_4 = 16 \\ a_2 + a_3 = 12 \end{cases} $

Для решения системы выразим некоторые переменные через другие. Из третьего и четвертого уравнений:

$a_4 = 16 - a_1$

$a_3 = 12 - a_2$

Подставим эти выражения во второе уравнение системы ($2a_3 = a_2 + a_4$):

$2(12 - a_2) = a_2 + (16 - a_1)$

$24 - 2a_2 = a_2 + 16 - a_1$

Теперь выразим $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = a_2 + 2a_2 + 16 - 24$

$a_1 = 3a_2 - 8$

Далее подставим полученные выражения для $a_1$ и $a_3$ в первое уравнение системы ($a_2^2 = a_1 \cdot a_3$):

$a_2^2 = (3a_2 - 8)(12 - a_2)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $a_2$:

$a_2^2 = 36a_2 - 3a_2^2 - 96 + 8a_2$

$a_2^2 = -3a_2^2 + 44a_2 - 96$

$4a_2^2 - 44a_2 + 96 = 0$

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

$a_2^2 - 11a_2 + 24 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета. Сумма корней равна 11, а их произведение равно 24. Этим условиям удовлетворяют числа 3 и 8. Следовательно, мы имеем два возможных значения для второго числа $a_2$: 3 или 8.

Рассмотрим оба варианта.

1. Если $a_2 = 3$

Последовательно находим остальные числа, используя выведенные ранее формулы:

• $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 3 - 8 = 9 - 8 = 1$
• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 3 = 9$
• $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 1 = 15$

В этом случае искомые числа: 1, 3, 9, 15. Проверим: (1, 3, 9) - геометрическая прогрессия ($q=3$), (3, 9, 15) - арифметическая прогрессия ($d=6$), $1+15=16$, $3+9=12$. Все условия выполнены.

2. Если $a_2 = 8$

Находим остальные числа:

• $a_1 = 3a_2 - 8 = 3 \cdot 8 - 8 = 24 - 8 = 16$
• $a_3 = 12 - a_2 = 12 - 8 = 4$
• $a_4 = 16 - a_1 = 16 - 16 = 0$

В этом случае искомые числа: 16, 8, 4, 0. Проверим: (16, 8, 4) - геометрическая прогрессия ($q=1/2$), (8, 4, 0) - арифметическая прогрессия ($d=-4$), $16+0=16$, $8+4=12$. Все условия выполнены.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.

981. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$. Тогда $n$-й член прогрессии равен $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а её разность как $d$. Тогда $n$-й член прогрессии равен $a_n = a_1 + (n-1)d$.

По условию задачи, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 62. Формула суммы для $q \neq 1$ имеет вид $S_5 = b_1 \frac{q^5-1}{q-1}$. Если $q=1$, то все члены прогрессии равны $b_1$ и $S_5 = 5b_1$. Итак, у нас есть первое условие:

$S_5 = 62$

Также из условия известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии:

$b_5 = a_1 \implies b_1 q^4 = a_1$

$b_8 = a_2 \implies b_1 q^7 = a_2$

$b_{11} = a_{10} \implies b_1 q^{10} = a_{10}$

Для членов арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_{10}$ справедливо соотношение: $a_2 = a_1 + d$ и $a_{10} = a_1 + 9d$. Из этих двух равенств следует, что $a_{10} - a_1 = 9d$ и $a_2 - a_1 = d$, откуда получаем $a_{10} - a_1 = 9(a_2 - a_1)$.

Подставим в это соотношение соответствующие члены геометрической прогрессии:

$b_{11} - b_5 = 9(b_8 - b_5)$

$b_1 q^{10} - b_1 q^4 = 9(b_1 q^7 - b_1 q^4)$

Вынесем $b_1$ за скобки. Если $b_1 = 0$, то $S_5=0$, что противоречит условию ($S_5 = 62$). Следовательно, $b_1 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $b_1$:

$q^{10} - q^4 = 9(q^7 - q^4)$

$q^{10} - q^4 = 9q^7 - 9q^4$

$q^{10} - 9q^7 + 8q^4 = 0$

Вынесем $q^4$ за скобки:

$q^4(q^6 - 9q^3 + 8) = 0$

Это уравнение даёт нам возможные значения для знаменателя $q$. Рассмотрим все случаи.

Случай 1: $q^4 = 0 \implies q = 0$

Если знаменатель $q=0$, то геометрическая прогрессия имеет вид $b_1, 0, 0, 0, \ldots$.

Сумма первых пяти членов: $S_5 = b_1 + 0 + 0 + 0 + 0 = b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $b_1 = 62$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии: $b_5 = 0, b_8 = 0, b_{11} = 0$. Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=0, a_2=0, a_{10}=0$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0$. Таким образом, $b_1 = 62$ является одним из возможных решений.

Случай 2: $q^6 - 9q^3 + 8 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $q^3$. Сделаем замену $x = q^3$:

$x^2 - 9x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1=1$ и $x_2=8$.

Рассмотрим оба подслучая.

Подслучай 2а: $q^3 = 1 \implies q=1$

Если знаменатель $q=1$, то все члены геометрической прогрессии равны $b_1$.

Сумма первых пяти членов: $S_5 = b_1 + b_1 + b_1 + b_1 + b_1 = 5b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $5b_1 = 62$, откуда $b_1 = \frac{62}{5} = 12.4$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии: $b_5 = b_1, b_8 = b_1, b_{11} = b_1$. Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=b_1, a_2=b_1, a_{10}=b_1$. Эта последовательность является арифметической прогрессией с разностью $d=0$. Таким образом, $b_1 = 12.4$ также является возможным решением.

Подслучай 2б: $q^3 = 8 \implies q=2$

Если знаменатель $q=2$, используем формулу суммы для $S_5$:

$S_5 = b_1 \frac{q^5-1}{q-1} = b_1 \frac{2^5-1}{2-1} = b_1 \frac{32-1}{1} = 31b_1$.

По условию $S_5 = 62$, следовательно, $31b_1 = 62$, откуда $b_1 = 2$.

Проверим условие для членов арифметической прогрессии. Члены геометрической прогрессии:

$b_5 = b_1 q^4 = 2 \cdot 2^4 = 32$

$b_8 = b_1 q^7 = 2 \cdot 2^7 = 256$

$b_{11} = b_1 q^{10} = 2 \cdot 2^{10} = 2048$

Соответствующие члены арифметической прогрессии: $a_1=32, a_2=256, a_{10}=2048$.

Найдем разность $d$ по первым двум членам: $d = a_2 - a_1 = 256 - 32 = 224$.

Проверим десятый член: $a_{10} = a_1 + 9d = 32 + 9 \cdot 224 = 32 + 2016 = 2048$.

Значение совпадает с $b_{11}$, значит, условие выполняется. Таким образом, $b_1=2$ является еще одним возможным решением.

Задача имеет три решения, каждое из которых соответствует разным значениям знаменателя геометрической прогрессии ($q=0, q=1, q=2$).

Ответ: Первый член геометрической прогрессии может быть равен 2, 12.4 или 62.

982. Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность. По условию, все члены прогрессии положительны ($a_n > 0$), следовательно, $a_1 > 0$ и разность $d$ должна быть неотрицательной. Если $d=0$, то все члены равны, и условие $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot a_1 \cdot a_2$ превращается в $a_1^2 = 33a_1^2$, что возможно только при $a_1=0$, а это противоречит условию положительности членов. Значит, $d > 0$.

Выразим нужные члены прогрессии через $a_1$ и $d$ по формуле $n$-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:

• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$
• Шестой член: $a_6 = a_1 + 5d$

Подставим эти выражения в уравнение, данное в условии задачи: $a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot (a_1 \cdot a_2)$.

$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d) = 33 \cdot a_1(a_1 + d)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$a_1^2 + 5a_1d + 4a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$

$a_1^2 + 9a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить однородное квадратное уравнение:

$32a_1^2 + 24a_1d - 20d^2 = 0$

Разделив все члены уравнения на 4, получим:

$8a_1^2 + 6a_1d - 5d^2 = 0$

Поскольку $d \neq 0$, мы можем разделить всё уравнение на $d^2$ и ввести замену $x = \frac{a_1}{d}$:

$8\left(\frac{a_1}{d}\right)^2 + 6\left(\frac{a_1}{d}\right) - 5 = 0$

$8x^2 + 6x - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 + 14}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{196}}{2 \cdot 8} = \frac{-6 - 14}{16} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}$

Поскольку $a_1 > 0$ и $d > 0$, их отношение $x = \frac{a_1}{d}$ должно быть положительным числом. Следовательно, корень $x_2 = -\frac{5}{4}$ не удовлетворяет условию задачи. Остаётся единственный подходящий вариант: $x = \frac{a_1}{d} = \frac{1}{2}$, из которого следует, что $d = 2a_1$.

Теперь найдём, во сколько раз пятый член прогрессии больше второго. Для этого нужно вычислить отношение $\frac{a_5}{a_2}$:

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4d}{a_1 + d}$

Подставим найденное соотношение $d = 2a_1$ в это выражение:

$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4(2a_1)}{a_1 + 2a_1} = \frac{a_1 + 8a_1}{3a_1} = \frac{9a_1}{3a_1} = 3$

Ответ: 3

983. В треугольнике, площадь которого равна $12 \text{ см}^2$, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников.

Пусть $S_1$ — площадь исходного треугольника. По условию задачи, $S_1 = 12$ см².

При соединении середин сторон треугольника образуется новый треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного треугольника. По свойству средней линии, треугольник, образованный средними линиями, подобен исходному с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Следовательно, площадь нового треугольника $S_2$ в 4 раза меньше площади исходного.

$S_2 = (\frac{1}{2})^2 S_1 = \frac{1}{4} S_1 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3$ см².

Процесс построения повторяется бесконечно. Площадь третьего треугольника $S_3$ будет в 4 раза меньше площади второго, и так далее.

$S_3 = \frac{1}{4} S_2 = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$ см².

Мы получаем последовательность площадей $12, 3, \frac{3}{4}, \dots$, которая является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = S_1 = 12$.
Знаменатель прогрессии $q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.

Для нахождения суммы площадей всех треугольников нужно найти сумму этой бесконечной геометрической прогрессии. Так как $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является сходящейся, и ее сумма вычисляется по формуле:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Подставим наши значения в формулу:

$S = \frac{12}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{12}{\frac{3}{4}} = 12 \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$.

Таким образом, сумма площадей всех треугольников равна 16 см².

Ответ: 16 см².

984. В цветочный магазин поставили 50 красных, 100 белых и 150 жёлтых гвоздик.

1) Сколько различных букетов по 3 гвоздики в каждом можно составить из имеющихся цветов?

2) Сколько различных букетов, состоящих из одной красной, одной белой и одной жёлтой гвоздик, можно собрать из имеющихся цветов?

3) Сколько различных букетов, содержащих 2 красные, 2 белые и одну жёлтую гвоздики, можно составить из имеющихся цветов?

4) Сколько различных букетов, содержащих 3 красные, одну белую и 5 жёлтых гвоздик, можно составить из имеющихся цветов?

1) В этом вопросе под "различными букетами" понимаются различные сочетания цветов. Например, букет из трёх красных гвоздик считается одним видом букета, а букет из двух красных и одной белой — другим. Поскольку количество цветов каждого вида (50, 100, 150) значительно больше, чем количество цветов в букете (3), мы можем считать, что запас цветов каждого вида неограничен для составления одного букета.
Эта задача решается с помощью формулы сочетаний с повторениями: $C_{n+k-1}^k = \frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$, где $n$ — количество видов предметов (у нас 3 вида цветов: красные, белые, жёлтые), а $k$ — количество предметов в наборе (у нас 3 гвоздики в букете).
Подставляем наши значения: $n=3$, $k=3$.
Число различных букетов = $C_{3+3-1}^3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.
Возможные составы букетов: (3к), (3б), (3ж), (2к, 1б), (2к, 1ж), (1к, 2б), (1к, 2ж), (2б, 1ж), (1б, 2ж), (1к, 1б, 1ж). Всего 10 вариантов.
Ответ: 10

2) Здесь мы составляем букеты из конкретных цветов, и цветы одного цвета считаются различными. Нам нужно выбрать 1 красную, 1 белую и 1 жёлтую гвоздику. Это задача на правило произведения в комбинаторике.
Количество способов выбрать 1 красную гвоздику из 50: $C_{50}^1 = 50$.
Количество способов выбрать 1 белую гвоздику из 100: $C_{100}^1 = 100$.
Количество способов выбрать 1 жёлтую гвоздику из 150: $C_{150}^1 = 150$.
Общее количество различных букетов равно произведению этих способов:
$N = C_{50}^1 \cdot C_{100}^1 \cdot C_{150}^1 = 50 \cdot 100 \cdot 150 = 750\ 000$.
Ответ: 750 000

3) Эта задача аналогична предыдущей и решается с помощью правила произведения. Нам нужно выбрать 2 красные, 2 белые и 1 жёлтую гвоздику.
Количество способов выбрать 2 красные гвоздики из 50: $C_{50}^2 = \frac{50!}{2!(50-2)!} = \frac{50 \cdot 49}{2} = 1225$.
Количество способов выбрать 2 белые гвоздики из 100: $C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$.
Количество способов выбрать 1 жёлтую гвоздику из 150: $C_{150}^1 = 150$.
Общее количество различных букетов:
$N = C_{50}^2 \cdot C_{100}^2 \cdot C_{150}^1 = 1225 \cdot 4950 \cdot 150 = 909\ 562\ 500$.
Ответ: 909 562 500

4) Снова применяем правило произведения для выбора 3 красных, 1 белой и 5 жёлтых гвоздик.
Количество способов выбрать 3 красные гвоздики из 50: $C_{50}^3 = \frac{50!}{3!(50-3)!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 19\ 600$.
Количество способов выбрать 1 белую гвоздику из 100: $C_{100}^1 = 100$.
Количество способов выбрать 5 жёлтых гвоздик из 150: $C_{150}^5 = \frac{150!}{5!(150-5)!} = \frac{150 \cdot 149 \cdot 148 \cdot 147 \cdot 146}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 591\ 599\ 030$.
Общее количество различных букетов:
$N = C_{50}^3 \cdot C_{100}^1 \cdot C_{150}^5 = 19\ 600 \cdot 100 \cdot 591\ 599\ 030 = 1\ 159\ 534\ 098\ 800\ 000$.
Ответ: 1 159 534 098 800 000