Страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

897. При каких значениях x выражение $lg(x^2 + 8x + 15)$ не имеет смысла?

Логарифмическое выражение $\lg(A)$ (десятичный логарифм) определено только для положительных значений аргумента $A$, то есть при $A > 0$. Соответственно, выражение не имеет смысла, когда его аргумент меньше или равен нулю.

В данном случае аргументом является квадратичная функция $x^2 + 8x + 15$. Чтобы найти, при каких значениях $x$ исходное выражение не имеет смысла, нужно решить неравенство:

$x^2 + 8x + 15 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета. Сумма корней должна быть равна $-8$, а их произведение $15$. Легко подобрать корни:

$x_1 = -5$ и $x_2 = -3$

(Проверка: $(-5) + (-3) = -8$; $(-5) \cdot (-3) = 15$).

Так как-то функция $y = x^2 + 8x + 15$ является параболой с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля), ее значения будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток:

$-5 \le x \le -3$

Ответ: выражение не имеет смысла при $x \in [-5, -3]$.

898. При каком наименьшем целом значении $m$ уравнение

$(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m-3 = 0$

имеет два различных действительных корня?

Данное уравнение $(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m-3 = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты зависят от параметра $m$:

• $a = m-1$
• $b = -2(m+1)$
• $c = m-3$

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, должны выполняться два условия:

1. Уравнение должно быть действительно квадратным, то есть старший коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).
2. Дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим оба условия последовательно.

1. Условие $a \neq 0$

Старший коэффициент $a = m-1$. Чтобы уравнение было квадратным, необходимо, чтобы $a \neq 0$.

$m-1 \neq 0$

$m \neq 1$

Если $m=1$, уравнение перестает быть квадратным и превращается в линейное: $(1-1)x^2 - 2(1+1)x + 1-3 = 0$, что упрощается до $-4x - 2 = 0$. Это уравнение имеет только один корень $x = -0.5$, что не удовлетворяет условию о двух различных корнях. Следовательно, значение $m=1$ необходимо исключить.

2. Условие $D > 0$

Найдем дискриминант уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши коэффициенты:

$D = (-2(m+1))^2 - 4(m-1)(m-3)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = 4(m+1)^2 - 4(m-1)(m-3)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 3m - m + 3)$

$D = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 - 4m + 3)$

$D = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 + 16m - 12$

Приведем подобные слагаемые:

$D = (4m^2 - 4m^2) + (8m + 16m) + (4 - 12)$

$D = 24m - 8$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$24m - 8 > 0$

$24m > 8$

$m > \frac{8}{24}$

$m > \frac{1}{3}$

3. Поиск наименьшего целого значения $m$

Мы получили два условия, которым должен удовлетворять параметр $m$:

• $m > \frac{1}{3}$
• $m \neq 1$

Нам нужно найти наименьшее целое значение $m$, удовлетворяющее этим условиям. Выпишем целые числа, которые больше $\frac{1}{3}$: $1, 2, 3, 4, \dots$

Наименьшее целое число в этом списке — это 1. Однако, как мы установили ранее, $m$ не может быть равно 1.

Следовательно, мы должны выбрать следующее по величине целое число, которое равно 2.

Значение $m=2$ удовлетворяет обоим условиям: $2 > \frac{1}{3}$ и $2 \neq 1$.

Таким образом, наименьшее целое значение $m$, при котором уравнение имеет два различных действительных корня, — это 2.

Ответ: 2

899. При каких целых значениях m уравнение

$(m - 7)x^2 + 2(m - 7)x + 3 = 0$

не имеет действительных корней?

Данное уравнение $(m-7)x^2 + 2(m-7)x + 3 = 0$ является уравнением с параметром $m$. Для того чтобы оно не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $m-7=0$, откуда $m=7$. Подставим это значение в исходное уравнение, чтобы проверить, имеет ли оно корни:

$(7-7)x^2 + 2(7-7)x + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 2 \cdot 0 \cdot x + 3 = 0$

$0 + 0 + 3 = 0$

$3 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $m=7$ исходное уравнение не имеет решений (и, следовательно, не имеет действительных корней). Таким образом, целое значение $m=7$ является одним из решений задачи.

Случай 2: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $m-7 \neq 0$, или $m \neq 7$. В этом случае мы имеем дело с квадратным уравнением вида $ax^2+bx+c=0$, где коэффициенты равны:

$a = m-7$

$b = 2(m-7)$

$c = 3$

Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант данного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (2(m-7))^2 - 4(m-7)(3) = 4(m-7)^2 - 12(m-7)$

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно $m$:

$4(m-7)^2 - 12(m-7) < 0$

Для решения вынесем общий множитель $4(m-7)$ за скобки:

$4(m-7) \cdot ((m-7) - 3) < 0$

$4(m-7)(m-10) < 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 4, знак неравенства при этом не изменится:

$(m-7)(m-10) < 0$

Это квадратичное неравенство. Его решение можно найти методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(m-7)(m-10)=0$ — это $m_1=7$ и $m_2=10$. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Парабола $y=(m-7)(m-10)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между своими корнями.

Следовательно, решение неравенства есть интервал $7 < m < 10$.

По условию задачи, мы ищем целые значения $m$. Целыми числами, которые находятся в интервале $(7, 10)$, являются $8$ и $9$.

Объединение результатов.

В первом случае мы установили, что $m=7$ удовлетворяет условию.

Во втором случае мы нашли, что условию удовлетворяют целые значения $m=8$ и $m=9$.

Объединяя все найденные целые значения, получаем полный набор искомых значений $m$.

Ответ: $7, 8, 9$.

900. При каком наибольшем целом значении $x$ выражение

$\frac{\frac{1}{2}x^2+3}{x^2-9x+14}$

принимает отрицательное значение?

Для того чтобы найти, при каком наибольшем целом значении x данное выражение принимает отрицательное значение, необходимо решить неравенство:

$\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{x^2 - 9x + 14} < 0$

Рассмотрим числитель дроби: $\frac{1}{2}x^2 + 3$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного значения x, то $\frac{1}{2}x^2 \ge 0$. Следовательно, выражение в числителе $\frac{1}{2}x^2 + 3 \ge 3$, то есть числитель всегда положителен.

Дробь будет отрицательной, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Так как числитель всегда положителен, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был отрицательным:

$x^2 - 9x + 14 < 0$

Чтобы решить это квадратное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. Используем теорему Виета: сумма корней равна $9$, а их произведение равно $14$. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 9x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны между ее корнями. Таким образом, решение неравенства $x^2 - 9x + 14 < 0$ — это интервал $(2; 7)$.

Нам нужно найти наибольшее целое значение x из этого интервала. Целые числа, принадлежащие интервалу $(2; 7)$, это 3, 4, 5, 6. Наибольшее из них — 6.

Ответ: 6.

901. При каком наименьшем целом значении x выражение $ \frac{x^2 - x - 6}{-7 - x^2} $ принимает положительное значение?

Для того чтобы выражение $\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}$ принимало положительное значение, необходимо, чтобы его числитель и знаменатель имели одинаковые знаки. Это эквивалентно решению неравенства:

$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2} > 0$

Проанализируем знак знаменателя $-7-x^2$.

Для любого действительного значения $x$, квадрат этого числа $x^2$ всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Прибавив 7 к обеим частям, получим $x^2+7 \ge 7$.

Знаменатель можно представить в виде $-(x^2+7)$. Так как $x^2+7$ всегда положительно, то знаменатель $-(x^2+7)$ всегда будет отрицательным.

Поскольку знаменатель дроби всегда отрицателен, для того чтобы вся дробь была положительной, ее числитель также должен быть отрицательным. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

$x^2-x-6 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2-x-6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Подбором находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2-x-6$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Следовательно, решение неравенства $x^2-x-6 < 0$ есть интервал $(-2; 3)$.

По условию задачи требуется найти наименьшее целое значение $x$, которое удовлетворяет этому условию. Перечислим все целые числа, входящие в интервал $(-2; 3)$: -1, 0, 1, 2.

Наименьшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1

902. Найти все пары целых чисел x и y, для которых верны три неравенства:

1) $3y - x < 5$, $x + y > 26$, $3x - 2y < 46$;

2) $3y - 5x > 16$, $3y - x < 44$, $3x - y > 1$.

1)

Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:

$3y - x < 5$

$x + y > 26$

$3x - 2y < 46$

Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Выразим $x$ из каждого неравенства:

Из первого: $x > 3y - 5$

Из второго: $x > 26 - y$

Из третьего: $3x < 46 + 2y \implies x < \frac{46 + 2y}{3}$

Теперь мы можем составить два двойных неравенства для $x$, используя верхнюю границу и каждую из нижних границ. Это позволит нам найти ограничения для $y$.

Комбинация второй и третьей границ для $x$ дает:

$26 - y < x < \frac{46 + 2y}{3}$

Отсюда следует, что нижняя граница должна быть меньше верхней:

$26 - y < \frac{46 + 2y}{3}$

$3(26 - y) < 46 + 2y$

$78 - 3y < 46 + 2y$

$32 < 5y \implies y > \frac{32}{5} = 6.4$

Комбинация первой и третьей границ для $x$ дает:

$3y - 5 < x < \frac{46 + 2y}{3}$

Отсюда следует:

$3y - 5 < \frac{46 + 2y}{3}$

$3(3y - 5) < 46 + 2y$

$9y - 15 < 46 + 2y$

$7y < 61 \implies y < \frac{61}{7} \approx 8.71$

Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $y$:

$6.4 < y < 8.71$

Единственные целые числа в этом интервале — это $y=7$ и $y=8$. Проверим оба варианта.

Случай 1: $y = 7$

Подставляем $y=7$ в неравенства для $x$:

$x > 3(7) - 5 \implies x > 16$

$x > 26 - 7 \implies x > 19$

$x < \frac{46 + 2(7)}{3} = \frac{60}{3} \implies x < 20$

Объединяя условия, получаем $19 < x < 20$. В этом интервале нет целых чисел $x$.

Случай 2: $y = 8$

Подставляем $y=8$ в неравенства для $x$:

$x > 3(8) - 5 \implies x > 19$

$x > 26 - 8 \implies x > 18$

$x < \frac{46 + 2(8)}{3} = \frac{62}{3} \approx 20.67$

Объединяя условия ($x > 19$ и $x < 20.67$), получаем $19 < x < 20.67$. Единственное целое число $x$ в этом интервале — это $x = 20$.

Таким образом, найдена единственная пара $(20, 8)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:

$3(8) - 20 = 24 - 20 = 4 < 5$ (верно)

$20 + 8 = 28 > 26$ (верно)

$3(20) - 2(8) = 60 - 16 = 44 < 46$ (верно)

Все неравенства выполняются.

Ответ: $(20, 8)$.

2)

Дана система из трех неравенств, где $x$ и $y$ — целые числа:

$3y - 5x > 16$

$3y - x < 44$

$3x - y > 1$

Для решения этой системы скомбинируем неравенства, чтобы ограничить возможные значения одной из переменных. Удобно работать с выражением $3y$.

Из первого неравенства: $3y > 5x + 16$

Из второго неравенства: $3y < x + 44$

Из третьего неравенства: $y < 3x - 1 \implies 3y < 9x - 3$

Скомбинируем первое и второе неравенства:

$5x + 16 < 3y < x + 44$

Отсюда следует, что $5x + 16 < x + 44$:

$4x < 28 \implies x < 7$

Теперь скомбинируем первое и третье неравенства:

$5x + 16 < 3y < 9x - 3$

Отсюда следует, что $5x + 16 < 9x - 3$:

$19 < 4x \implies x > \frac{19}{4} = 4.75$

Таким образом, мы получили двойное неравенство для целого числа $x$:

$4.75 < x < 7$

Единственные целые числа в этом интервале — это $x=5$ и $x=6$. Проверим оба варианта.

Случай 1: $x = 5$

Подставляем $x=5$ в неравенства для $y$:

$3y - 5(5) > 16 \implies 3y > 41 \implies y > \frac{41}{3} \approx 13.67$

$3(5) - y > 1 \implies 15 - y > 1 \implies y < 14$

Объединяя условия, получаем $13.67 < y < 14$. В этом интервале нет целых чисел $y$.

Случай 2: $x = 6$

Подставляем $x=6$ в неравенства для $y$:

$3y - 5(6) > 16 \implies 3y > 46 \implies y > \frac{46}{3} \approx 15.33$

$3y - 6 < 44 \implies 3y < 50 \implies y < \frac{50}{3} \approx 16.67$

$3(6) - y > 1 \implies 18 - y > 1 \implies y < 17$

Объединяя условия, получаем $15.33 < y < 16.67$. Единственное целое число $y$ в этом интервале — это $y = 16$. (Условие $y < 17$ также выполняется).

Таким образом, найдена единственная пара $(6, 16)$. Проверим ее, подставив в исходную систему:

$3(16) - 5(6) = 48 - 30 = 18 > 16$ (верно)

$3(16) - 6 = 48 - 6 = 42 < 44$ (верно)

$3(6) - 16 = 18 - 16 = 2 > 1$ (верно)

Все неравенства выполняются.

Ответ: $(6, 16)$.

Решить неравенство (903—917).

903. 1) $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$;

2) $0,13^{x-4} \ge 0,13^{2-x}$;

3) $(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{3}{4})^{x-1}$;

4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$.

1) $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$
В данном показательном неравенстве основание степени $a = 2,5$. Так как основание больше единицы ($a > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$1 - x > -3x$
Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть, а числовые члены в правую:
$3x - x > -1$
$2x > -1$
Разделим обе части на 2:
$x > -\frac{1}{2}$
Таким образом, решение неравенства есть интервал от -0,5 до плюс бесконечности.
Ответ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

2) $0,13^{x-4} \ge 0,13^{2-x}$
Основание степени в этом неравенстве $a = 0,13$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$x - 4 \le 2 - x$
Сгруппируем члены с $x$ в левой части, а константы в правой:
$x + x \le 2 + 4$
$2x \le 6$
Разделим обе части на 2:
$x \le 3$
Решением является числовой луч от минус бесконечности до 3, включая 3.
Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

3) $(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{3}{4})^{x-1}$
В данном неравенстве основания степеней различны: $\frac{4}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Чтобы решить неравенство, приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $\frac{3}{4} = \frac{1}{4/3} = (\frac{4}{3})^{-1}$.
Подставим это выражение в правую часть неравенства:
$(\frac{4}{3})^{2x} \le ((\frac{4}{3})^{-1})^{x-1}$
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:
$(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{4}{3})^{-(x-1)}$
$(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{4}{3})^{1-x}$
Теперь обе части неравенства имеют одинаковое основание $a = \frac{4}{3}$. Так как $a > 1$, показательная функция возрастает, и знак неравенства для показателей сохраняется.
$2x \le 1 - x$
$2x + x \le 1$
$3x \le 1$
$x \le \frac{1}{3}$
Решение неравенства - числовой луч от минус бесконечности до $\frac{1}{3}$ включительно.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.

4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$
Для решения этого неравенства представим обе его части в виде степеней с одинаковым основанием 3. Правую часть можно записать как $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$.
Неравенство примет вид:
$3^{-4x} > 3^{\frac{1}{2}}$
Основание степени $a = 3$, что больше 1. Следовательно, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей степеней сохраняется.
$-4x > \frac{1}{2}$
Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{1/2}{-4}$
$x < -\frac{1}{8}$
Решением является интервал от минус бесконечности до $-\frac{1}{8}$.
Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8})$.

904. 1) $2^{-x+5} < \frac{1}{4}$; •

2) $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27}$.

1)

Дано показательное неравенство $2^{-x+5} < \frac{1}{4}$.

Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2^{-x+5} < 2^{-2}$

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-x+5 < -2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

Перенесем 5 в правую часть:

$-x < -2 - 5$

$-x < -7$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 7$

Решением неравенства является интервал $(7, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27}$.

Приведем обе части неравенства к одному основанию. Удобно использовать основание $\frac{1}{3}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{1}{3})^{|x-2|} > (\frac{1}{3})^3$

Так как основание степени $a=\frac{1}{3}$ меньше единицы, но больше нуля ($0 < a < 1$), показательная функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:

$|x-2| < 3$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-3 < x-2 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем частям двойного неравенства:

$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-1 < x < 5$

Решением неравенства является интервал $(-1, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, 5)$.

905. 1) $5^{x^2+3x+1.5} < 5\sqrt{5}$;

2) $0.2^{x^2-6x+7} \ge 1$.

1)

Дано показательное неравенство: $5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5\sqrt{5}$.
Для решения приведем обе части неравенства к одному основанию — 5.
Представим правую часть в виде степени с основанием 5:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{1.5}$.
Теперь неравенство имеет вид:
$5^{x^2 + 3x + 1.5} < 5^{1.5}$.
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 3x + 1.5 < 1.5$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$x^2 + 3x + 1.5 - 1.5 < 0$
$x^2 + 3x < 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x = 0$:
$x(x + 3) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $-3 < x < 0$.
В виде интервала это записывается как $(-3; 0)$.
Ответ: $(-3; 0)$.

2)

Дано показательное неравенство: $0.2^{x^2 - 6x + 7} \ge 1$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию — 0.2.
Представим 1 в виде степени с основанием 0.2:
$1 = 0.2^0$.
Теперь неравенство имеет вид:
$0.2^{x^2 - 6x + 7} \ge 0.2^0$.
Так как основание степени $0.2$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 6x + 7 \le 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$.
Корни уравнения:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.
$x_1 = 3 - \sqrt{2}$, $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x + 7$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неположительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $3 - \sqrt{2} \le x \le 3 + \sqrt{2}$.
В виде отрезка это записывается как $[3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.
Ответ: $[3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.

$3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3}$;

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10.$

1) Исходное неравенство: $3^{x+1} \cdot 9^{x-\frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3}$.
Для решения данного показательного неравенства необходимо привести все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3.
Представим $9$ и $\sqrt[3]{3}$ в виде степени с основанием 3:
$9 = 3^2$
$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{x+1} \cdot (3^2)^{x-\frac{1}{2}} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ к выражению $(3^2)^{x-\frac{1}{2}}$:
$3^{x+1} \cdot 3^{2(x-\frac{1}{2})} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
$3^{x+1} \cdot 3^{2x-1} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Теперь применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{(x+1) + (2x-1)} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
$3^{3x} \ge 3^{\frac{1}{3}}$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$3x \ge \frac{1}{3}$
Разделим обе части неравенства на 3, чтобы найти $x$:
$x \ge \frac{1}{9}$
Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие или равные $\frac{1}{9}$.
Ответ: $[\frac{1}{9}, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10$.
Для решения этого неравенства преобразуем его левую часть, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$.
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$
Подставим полученные выражения в неравенство:
$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x < 10$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + \frac{1}{3}) < 10$
Упростим выражение в скобках:
$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
Неравенство примет вид:
$3^x \cdot \frac{10}{3} < 10$
Чтобы найти $3^x$, разделим обе части неравенства на $\frac{10}{3}$. Так как $\frac{10}{3} > 0$, знак неравенства не изменится:
$3^x < 10 \cdot \frac{3}{10}$
$3^x < 3$
Представим число 3 в правой части как степень с основанием 3:
$3^x < 3^1$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак неравенства:
$x < 1$
Решением неравенства являются все числа, меньшие 1.
Ответ: $(-\infty, 1)$.

907.1) $2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52;$

2) $2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}.$

1)

Дано показательное неравенство:

$2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52$

Для решения приведем все члены неравенства к одному основанию, в данном случае к 2. Для этого воспользуемся свойствами степеней:

$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2} = \frac{1}{4} \cdot 2^{2x}$

$8^{\frac{2}{3}x} = (2^3)^{\frac{2}{3}x} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}x} = 2^{2x}$

Теперь подставим полученные выражения в исходное неравенство:

$2^{2x} - \frac{1}{4} \cdot 2^{2x} + 2^{2x} \cdot \frac{1}{16} > 52$

Вынесем общий множитель $2^{2x}$ за скобки:

$2^{2x} \left(1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16}\right) > 52$

Вычислим значение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 16:

$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{12+1}{16} = \frac{13}{16}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x} \cdot \frac{13}{16} > 52$

Чтобы выразить $2^{2x}$, умножим обе части на $\frac{16}{13}$:

$2^{2x} > 52 \cdot \frac{16}{13}$

Сократим 52 и 13 ($52 = 4 \cdot 13$):

$2^{2x} > 4 \cdot 16$

$2^{2x} > 64$

Представим 64 как степень числа 2: $64 = 2^6$.

$2^{2x} > 2^6$

Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение показателя степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей:

$2x > 6$

Разделим обе части на 2:

$x > 3$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство:

$2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями. Перенесем все слагаемые с основанием 2 в левую часть, а с основанием 5 — в правую.

$2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x-2}$

Применим свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и вынесем за скобки общие множители $2^x$ и $5^x$.

Преобразуем левую часть:

$2^x \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^3 - 2^x \cdot 2^4 = 2^x(2^2 - 2^3 - 2^4) = 2^x(4 - 8 - 16) = 2^x(-20) = -20 \cdot 2^x$

Преобразуем правую часть:

$5^x \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^{-2} = 5^x(5^1 - 5^{-2}) = 5^x\left(5 - \frac{1}{25}\right) = 5^x\left(\frac{125 - 1}{25}\right) = \frac{124}{25} \cdot 5^x$

Теперь неравенство имеет вид:

$-20 \cdot 2^x > \frac{124}{25} \cdot 5^x$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x$ всегда положительно ($5^x > 0$ для любого $x$), знак неравенства не меняется.

$-20 \cdot \frac{2^x}{5^x} > \frac{124}{25}$

$-20 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x > \frac{124}{25}$

Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < \frac{124}{25 \cdot (-20)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < -\frac{124}{500}$

Упростим дробь в правой части, сократив на 4:

$\left(\frac{2}{5}\right)^x < -\frac{31}{125}$

Левая часть неравенства, $\left(\frac{2}{5}\right)^x$, представляет собой показательную функцию. Для любого действительного числа $x$ значение этой функции всегда положительно: $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$.

Правая часть неравенства, $-\frac{31}{125}$, является отрицательным числом.

Таким образом, мы получили неравенство, в котором положительное число должно быть меньше отрицательного, что невозможно ни при каких значениях $x$.

Ответ: $x \in \emptyset$.

908. 1) $3^{x^2+6x} < 1;$

2) $(\frac{1}{4})^{x-x^2} > \frac{1}{2};$

3) $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 1;$

4) $2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0;$

5) $3^{4-3x} - 35 (\frac{1}{3})^{2-3x} + 6 \ge 0.$

1)

Исходное неравенство: $3^{x^2+6x} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
Неравенство принимает вид: $3^{x^2+6x} < 3^0$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 6x < 0$.
Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x = 0$.
$x(x+6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.
Парабола $y = x^2+6x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2+6x < 0$ выполняется между корнями.
Таким образом, решением является интервал $-6 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-6; 0)$.

2)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{x-x^2} > \frac{1}{2}$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, $\frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, левая часть преобразуется к виду: $((\frac{1}{2})^2)^{x-x^2} = (\frac{1}{2})^{2(x-x^2)} = (\frac{1}{2})^{2x-2x^2}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^{2x-2x^2} > (\frac{1}{2})^1$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$2x-2x^2 < 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $-2x^2+2x-1 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $2x^2-2x+1 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = 2x^2-2x+1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, парабола расположена полностью выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2-2x+1$ положительно при любых действительных значениях $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 4: $1 = 4^0$.
Неравенство принимает вид: $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 4^0$.
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-3}{x^2+6x+11} < 0$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2+6x+11$. Найдем его дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, знаменатель $x^2+6x+11$ всегда положителен при любых $x$.
Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя.
Следовательно, неравенство равносильно неравенству $x-3 < 0$.
Решая его, получаем $x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4)

Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0$.
Приведем все степени к одному основанию 2:
$2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$.
$(\frac{1}{2})^{2x+3} = (2^{-1})^{2x+3} = 2^{-2x-3} = 2^{-2x} \cdot 2^{-3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}}$.
Подставим преобразованные выражения в неравенство:
$2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot \frac{1}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Неравенство в терминах $t$:
$2t - \frac{21}{8t} + 2 \ge 0$.
Умножим обе части на $8t$. Так как $t > 0$, то $8t > 0$, и знак неравенства не изменится:
$16t^2 - 21 + 16t \ge 0 \implies 16t^2 + 16t - 21 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $16t^2 + 16t - 21 = 0$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 = 40^2$.
$t_{1,2} = \frac{-16 \pm 40}{32}$.
$t_1 = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4}$, $t_2 = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
Парабола $y=16t^2+16t-21$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{7}{4}$ или $t \ge \frac{3}{4}$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{3}{4}$.
Вернемся к исходной переменной:
$2^{2x} \ge \frac{3}{4}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как $2>1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_2(2^{2x}) \ge \log_2(\frac{3}{4})$.
$2x \ge \log_2(3) - \log_2(4)$.
$2x \ge \log_2(3) - 2$.
$x \ge \frac{\log_2(3) - 2}{2}$.
Ответ: $x \in [\frac{\log_2(3) - 2}{2}; +\infty)$.

5)

Исходное неравенство: $3^{4-3x} - 35 \cdot (\frac{1}{3})^{2-3x} + 6 \ge 0$.
Приведем все степени к одному основанию 3:
$3^{4-3x} = 3^4 \cdot 3^{-3x} = 81 \cdot \frac{1}{3^{3x}}$.
$(\frac{1}{3})^{2-3x} = (3^{-1})^{2-3x} = 3^{-(2-3x)} = 3^{3x-2} = 3^{3x} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{3x}$.
Подставим в неравенство:
$\frac{81}{3^{3x}} - 35 \cdot \frac{3^{3x}}{9} + 6 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 3^{3x}$, где $t > 0$.
$\frac{81}{t} - \frac{35}{9}t + 6 \ge 0$.
Умножим на $9t > 0$:
$729 - 35t^2 + 54t \ge 0$.
Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:
$35t^2 - 54t - 729 \le 0$.
Найдем корни уравнения $35t^2 - 54t - 729 = 0$:
$D = (-54)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-729) = 2916 + 102060 = 104976 = 324^2$.
$t_{1,2} = \frac{54 \pm 324}{70}$.
$t_1 = \frac{54-324}{70} = -\frac{270}{70} = -\frac{27}{7}$.
$t_2 = \frac{54+324}{70} = \frac{378}{70} = \frac{27}{5}$.
Парабола $y=35t^2-54t-729$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $-\frac{27}{7} \le t \le \frac{27}{5}$.
С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{27}{5}$.
Вернемся к замене:
$3^{3x} \le \frac{27}{5}$.
Прологарифмируем по основанию 3 ($3 > 1$):
$\log_3(3^{3x}) \le \log_3(\frac{27}{5})$.
$3x \le \log_3(27) - \log_3(5)$.
$3x \le 3 - \log_3(5)$.
$x \le \frac{3 - \log_3(5)}{3} = 1 - \frac{1}{3}\log_3(5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{1}{3}\log_3(5)]$.

909. 1) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$;

2) $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$;

3) $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 4$.

1) Решим показательное неравенство $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$.

Сначала преобразуем правую часть неравенства, представив ее в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Теперь неравенство имеет вид: $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < 3^{-2}$.

Так как основание степени $a=3$ больше 1 ($3>1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей выполняется неравенство того же знака:

$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < -2$.

Прежде чем решать это логарифмическое неравенство, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\frac{x-1}{x+2} > 0$.

Решим это дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Находим нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-2$). Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки дроби на полученных интервалах. Решением является объединение интервалов, где дробь положительна: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

Теперь вернемся к логарифмическому неравенству. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $-2 = -2 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^{-2} = \log_2 \frac{1}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\log_2 \frac{x-1}{x+2} < \log_2 \frac{1}{4}$.

Так как основание логарифма $a=2$ больше 1 ($2>1$), логарифмическая функция $y=\log_2 t$ является возрастающей. Следовательно, переходим к неравенству для выражений под знаком логарифма, сохраняя знак:

$\frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{4}$.

Решим полученное неравенство:

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{1}{4} < 0$

$\frac{4(x-1) - (x+2)}{4(x+2)} < 0$

$\frac{4x - 4 - x - 2}{4(x+2)} < 0$

$\frac{3x - 6}{4(x+2)} < 0$

$\frac{3(x-2)}{4(x+2)} < 0$. Умножив на $\frac{4}{3}$, получаем $\frac{x-2}{x+2} < 0$.

Снова применяем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=-2$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 2)$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение найденного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-2, 2) \\ x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

2) Решим неравенство $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к сравнению показателей, сохраняя знак неравенства:

$\log_2(x^2 - 4x + 3.5) > -1$.

Поскольку в дальнейшем мы будем решать более сильное неравенство, условие ОДЗ ($x^2 - 4x + 3.5 > 0$) будет выполнено автоматически. Тем не менее, запишем его для полноты решения. Решим логарифмическое неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию 2: $-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 0.5$.

$\log_2(x^2 - 4x + 3.5) > \log_2 0.5$.

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем аргументы, сохраняя знак:

$x^2 - 4x + 3.5 > 0.5$

$x^2 - 4x + 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.

Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как из $x^2 - 4x + 3 > 0$ следует, что $x^2 - 4x + 3.5 = (x^2 - 4x + 3) + 0.5 > 0.5$, что, в свою очередь, больше 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 4$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 2^2$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$\log_{0.7}(1+2x) > 2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$1 + 2x > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

ОДЗ: $x \in (-0.5, +\infty)$.

Теперь решим логарифмическое неравенство. Представим 2 в виде логарифма по основанию 0.7:

$2 = 2 \cdot \log_{0.7} 0.7 = \log_{0.7} (0.7)^2 = \log_{0.7} 0.49$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0.7}(1+2x) > \log_{0.7} 0.49$.

Так как основание логарифма $a=0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y=\log_{0.7} t$ является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1+2x < 0.49$.

Решим это линейное неравенство:

$2x < 0.49 - 1$

$2x < -0.51$

$x < -\frac{0.51}{2}$

$x < -0.255$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < -0.255 \\ x > -0.5 \end{cases}$

Общим решением является интервал $(-0.5, -0.255)$.

Ответ: $x \in (-0.5, -0.255)$.