Номер 908, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 908, страница 333.

Условие.

908. 1) $3^{x^2+6x} < 1;$

2) $(\frac{1}{4})^{x-x^2} > \frac{1}{2};$

3) $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 1;$

4) $2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0;$

5) $3^{4-3x} - 35 (\frac{1}{3})^{2-3x} + 6 \ge 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное неравенство: $3^{x^2+6x} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
Неравенство принимает вид: $3^{x^2+6x} < 3^0$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$x^2 + 6x < 0$.
Решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x = 0$.
$x(x+6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -6$.
Парабола $y = x^2+6x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2+6x < 0$ выполняется между корнями.
Таким образом, решением является интервал $-6 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-6; 0)$.

2)

Исходное неравенство: $(\frac{1}{4})^{x-x^2} > \frac{1}{2}$.
Приведем обе части неравенства к одному основанию, например, $\frac{1}{2}$.
Поскольку $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$, левая часть преобразуется к виду: $((\frac{1}{2})^2)^{x-x^2} = (\frac{1}{2})^{2(x-x^2)} = (\frac{1}{2})^{2x-2x^2}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^{2x-2x^2} > (\frac{1}{2})^1$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$2x-2x^2 < 1$.
Перенесем все члены в одну сторону: $-2x^2+2x-1 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $2x^2-2x+1 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $y = 2x^2-2x+1$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 2 > 0$, парабола расположена полностью выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2-2x+1$ положительно при любых действительных значениях $x$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3)

Исходное неравенство: $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 1$.
Представим 1 в виде степени с основанием 4: $1 = 4^0$.
Неравенство принимает вид: $4^{\frac{x-3}{x^2+6x+11}} < 4^0$.
Так как основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$\frac{x-3}{x^2+6x+11} < 0$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $x^2+6x+11$. Найдем его дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8$.
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=1>0$, знаменатель $x^2+6x+11$ всегда положителен при любых $x$.
Так как знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя.
Следовательно, неравенство равносильно неравенству $x-3 < 0$.
Решая его, получаем $x < 3$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

4)

Исходное неравенство: $2^{2x+1} - 21 \cdot (\frac{1}{2})^{2x+3} + 2 \ge 0$.
Приведем все степени к одному основанию 2:
$2^{2x+1} = 2 \cdot 2^{2x}$.
$(\frac{1}{2})^{2x+3} = (2^{-1})^{2x+3} = 2^{-2x-3} = 2^{-2x} \cdot 2^{-3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2^{2x}}$.
Подставим преобразованные выражения в неравенство:
$2 \cdot 2^{2x} - 21 \cdot \frac{1}{8 \cdot 2^{2x}} + 2 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{2x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Неравенство в терминах $t$:
$2t - \frac{21}{8t} + 2 \ge 0$.
Умножим обе части на $8t$. Так как $t > 0$, то $8t > 0$, и знак неравенства не изменится:
$16t^2 - 21 + 16t \ge 0 \implies 16t^2 + 16t - 21 \ge 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $16t^2 + 16t - 21 = 0$:
$D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-21) = 256 + 1344 = 1600 = 40^2$.
$t_{1,2} = \frac{-16 \pm 40}{32}$.
$t_1 = \frac{-56}{32} = -\frac{7}{4}$, $t_2 = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
Парабола $y=16t^2+16t-21$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется при $t \le -\frac{7}{4}$ или $t \ge \frac{3}{4}$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $t \ge \frac{3}{4}$.
Вернемся к исходной переменной:
$2^{2x} \ge \frac{3}{4}$.
Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как $2>1$, знак неравенства сохраняется:
$\log_2(2^{2x}) \ge \log_2(\frac{3}{4})$.
$2x \ge \log_2(3) - \log_2(4)$.
$2x \ge \log_2(3) - 2$.
$x \ge \frac{\log_2(3) - 2}{2}$.
Ответ: $x \in [\frac{\log_2(3) - 2}{2}; +\infty)$.

5)

Исходное неравенство: $3^{4-3x} - 35 \cdot (\frac{1}{3})^{2-3x} + 6 \ge 0$.
Приведем все степени к одному основанию 3:
$3^{4-3x} = 3^4 \cdot 3^{-3x} = 81 \cdot \frac{1}{3^{3x}}$.
$(\frac{1}{3})^{2-3x} = (3^{-1})^{2-3x} = 3^{-(2-3x)} = 3^{3x-2} = 3^{3x} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^{3x}$.
Подставим в неравенство:
$\frac{81}{3^{3x}} - 35 \cdot \frac{3^{3x}}{9} + 6 \ge 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 3^{3x}$, где $t > 0$.
$\frac{81}{t} - \frac{35}{9}t + 6 \ge 0$.
Умножим на $9t > 0$:
$729 - 35t^2 + 54t \ge 0$.
Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:
$35t^2 - 54t - 729 \le 0$.
Найдем корни уравнения $35t^2 - 54t - 729 = 0$:
$D = (-54)^2 - 4 \cdot 35 \cdot (-729) = 2916 + 102060 = 104976 = 324^2$.
$t_{1,2} = \frac{54 \pm 324}{70}$.
$t_1 = \frac{54-324}{70} = -\frac{270}{70} = -\frac{27}{7}$.
$t_2 = \frac{54+324}{70} = \frac{378}{70} = \frac{27}{5}$.
Парабола $y=35t^2-54t-729$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями: $-\frac{27}{7} \le t \le \frac{27}{5}$.
С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t \le \frac{27}{5}$.
Вернемся к замене:
$3^{3x} \le \frac{27}{5}$.
Прологарифмируем по основанию 3 ($3 > 1$):
$\log_3(3^{3x}) \le \log_3(\frac{27}{5})$.
$3x \le \log_3(27) - \log_3(5)$.
$3x \le 3 - \log_3(5)$.
$x \le \frac{3 - \log_3(5)}{3} = 1 - \frac{1}{3}\log_3(5)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1 - \frac{1}{3}\log_3(5)]$.