Номер 912, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 912, страница 334.

Условие.

912. 1) $\log_{0.5}(1 + 2x) > -1;$

2) $\log_{3}(1 - 2x) < -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\log_{0,5}(1 + 2x) > -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 + 2x > 0$

$2x > -1$

$x > -0,5$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0,5:

$-1 = \log_{0,5}(0,5^{-1}) = \log_{0,5}(2)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,5}(1 + 2x) > \log_{0,5}(2)$

Так как основание логарифма $0,5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1 + 2x < 2$

$2x < 2 - 1$

$2x < 1$

$x < 0,5$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение интервалов $x > -0,5$ и $x < 0,5$.

Это можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x > -0,5 \\ x < 0,5 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(-0,5; 0,5)$.

Ответ: $(-0,5; 0,5)$.

2) Решим неравенство $\log_{3}(1 - 2x) < -1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$1 - 2x > 0$

$1 > 2x$

$x < \frac{1}{2}$ или $x < 0,5$

ОДЗ: $x \in (-\infty; 0,5)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$-1 = \log_{3}(3^{-1}) = \log_{3}(\frac{1}{3})$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{3}(1 - 2x) < \log_{3}(\frac{1}{3})$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$1 - 2x < \frac{1}{3}$

$1 - \frac{1}{3} < 2x$

$\frac{2}{3} < 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{1}{3} < x$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Найдем пересечение условий $x < 0,5$ и $x > \frac{1}{3}$.

Запишем в виде системы:

$\begin{cases} x < 0,5 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Решением системы является интервал $(\frac{1}{3}; 0,5)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 0,5)$.