Номер 909, страница 333 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 909, страница 333.

Условие.

909. 1) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$;

2) $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$;

3) $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим показательное неравенство $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$.

Сначала преобразуем правую часть неравенства, представив ее в виде степени с основанием 3: $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.

Теперь неравенство имеет вид: $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < 3^{-2}$.

Так как основание степени $a=3$ больше 1 ($3>1$), показательная функция $y=3^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей выполняется неравенство того же знака:

$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < -2$.

Прежде чем решать это логарифмическое неравенство, определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\frac{x-1}{x+2} > 0$.

Решим это дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Находим нули числителя ($x=1$) и знаменателя ($x=-2$). Отмечаем эти точки на числовой прямой и определяем знаки дроби на полученных интервалах. Решением является объединение интервалов, где дробь положительна: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty)$.

Теперь вернемся к логарифмическому неравенству. Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2: $-2 = -2 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^{-2} = \log_2 \frac{1}{4}$.

Неравенство принимает вид: $\log_2 \frac{x-1}{x+2} < \log_2 \frac{1}{4}$.

Так как основание логарифма $a=2$ больше 1 ($2>1$), логарифмическая функция $y=\log_2 t$ является возрастающей. Следовательно, переходим к неравенству для выражений под знаком логарифма, сохраняя знак:

$\frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{4}$.

Решим полученное неравенство:

$\frac{x-1}{x+2} - \frac{1}{4} < 0$

$\frac{4(x-1) - (x+2)}{4(x+2)} < 0$

$\frac{4x - 4 - x - 2}{4(x+2)} < 0$

$\frac{3x - 6}{4(x+2)} < 0$

$\frac{3(x-2)}{4(x+2)} < 0$. Умножив на $\frac{4}{3}$, получаем $\frac{x-2}{x+2} < 0$.

Снова применяем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=2$ и $x=-2$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-2, 2)$.

Для получения окончательного ответа найдем пересечение найденного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-2, 2) \\ x \in (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

2) Решим неравенство $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\log_2(x^2 - 4x + 3.5)} > 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к сравнению показателей, сохраняя знак неравенства:

$\log_2(x^2 - 4x + 3.5) > -1$.

Поскольку в дальнейшем мы будем решать более сильное неравенство, условие ОДЗ ($x^2 - 4x + 3.5 > 0$) будет выполнено автоматически. Тем не менее, запишем его для полноты решения. Решим логарифмическое неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию 2: $-1 = \log_2 2^{-1} = \log_2 0.5$.

$\log_2(x^2 - 4x + 3.5) > \log_2 0.5$.

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем аргументы, сохраняя знак:

$x^2 - 4x + 3.5 > 0.5$

$x^2 - 4x + 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне отрезка между корнями.

Решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как из $x^2 - 4x + 3 > 0$ следует, что $x^2 - 4x + 3.5 = (x^2 - 4x + 3) + 0.5 > 0.5$, что, в свою очередь, больше 0.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$.

3) Решим неравенство $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 4$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

Неравенство принимает вид: $2^{\log_{0.7}(1+2x)} > 2^2$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели, сохраняя знак неравенства:

$\log_{0.7}(1+2x) > 2$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положительным:

$1 + 2x > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

ОДЗ: $x \in (-0.5, +\infty)$.

Теперь решим логарифмическое неравенство. Представим 2 в виде логарифма по основанию 0.7:

$2 = 2 \cdot \log_{0.7} 0.7 = \log_{0.7} (0.7)^2 = \log_{0.7} 0.49$.

Неравенство принимает вид: $\log_{0.7}(1+2x) > \log_{0.7} 0.49$.

Так как основание логарифма $a=0.7$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция $y=\log_{0.7} t$ является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$1+2x < 0.49$.

Решим это линейное неравенство:

$2x < 0.49 - 1$

$2x < -0.51$

$x < -\frac{0.51}{2}$

$x < -0.255$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x < -0.255 \\ x > -0.5 \end{cases}$

Общим решением является интервал $(-0.5, -0.255)$.

Ответ: $x \in (-0.5, -0.255)$.