Номер 910, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 910, страница 334.

Условие.

910. 1) $\log_6(2 - x) < \log_6(2x + 5)$;

2) $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_6(2-x) < \log_6(2x+5)$.
Для решения в первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2-x > 0 \\ 2x+5 > 0 \end{cases}$
Решим систему неравенств:
$\begin{cases} -x > -2 \\ 2x > -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 2 \\ x > -2.5 \end{cases}$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2.5; 2)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма равно 6, что больше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_6(t)$ является возрастающей. Это означает, что для аргументов логарифмов сохраняется тот же знак неравенства, что и для самих логарифмов:
$2 - x < 2x + 5$
Решим полученное линейное неравенство:
$2 - 5 < 2x + x$
$-3 < 3x$
$x > -1$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение найденного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x > -1 \\ -2.5 < x < 2 \end{cases}$
Общим решением является интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge -1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы выражение под знаком логарифма было положительным:
$x^2 - 2 > 0$
$x^2 > 2$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{2}$:
$-1 = \log_{\frac{1}{2}}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{\frac{1}{2}}(2)$
Неравенство примет вид:
$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2) \ge \log_{\frac{1}{2}}(2)$
Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$, что меньше 1. Следовательно, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(t)$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - 2 \le 2$
$x^2 - 4 \le 0$
$(x - 2)(x + 2) \le 0$
Решением этого квадратного неравенства является отрезок $x \in [-2; 2]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$\begin{cases} x \in [-2; 2] \\ x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \infty) \end{cases}$
На числовой оси это пересечение соответствует объединению промежутков $[-2; -\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; 2]$.

Ответ: $x \in [-2; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; 2]$.