Номер 915, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 915, страница 334.

Условие.

915. $\log_4 x^2 + \log_2^2(-x) > 6$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для того чтобы логарифмические выражения были определены, их аргументы должны быть строго положительными. Это приводит к системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 > 0 \\ -x > 0 \end{cases} $

Из первого неравенства $ x^2 > 0 $ следует, что $ x \neq 0 $. Из второго неравенства $ -x > 0 $ следует, что $ x < 0 $. Объединяя эти два условия, получаем область допустимых значений: $ x < 0 $.

2. Преобразование неравенства

Цель — привести все логарифмы к одному основанию, в данном случае к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b $ и свойство логарифма четной степени $ \log_a(f(x)^2) = 2\log_a|f(x)| $.

$ \log_4{x^2} = \log_{2^2}{x^2} = \frac{1}{2}\log_2{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 2\log_2|x| = \log_2|x| $.

Так как согласно ОДЗ $ x < 0 $, то модуль $ |x| $ раскрывается как $ -x $. Таким образом, мы получаем:

$ \log_4{x^2} = \log_2(-x) $.

Подставим полученное выражение обратно в исходное неравенство:

$ \log_2(-x) + \log_2^2(-x) > 6 $.

3. Решение неравенства методом замены

Для упрощения введем замену переменной. Пусть $ t = \log_2(-x) $. Неравенство принимает следующий вид:

$ t + t^2 > 6 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$ t^2 + t - 6 > 0 $.

Найдем корни соответствующего уравнения $ t^2 + t - 6 = 0 $. С помощью теоремы Виета или дискриминанта находим, что корнями являются $ t_1 = -3 $ и $ t_2 = 2 $.

Парабола $ y = t^2 + t - 6 $ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $ > 0 $ выполняется, когда $ t $ находится вне интервала между корнями. То есть, когда $ t < -3 $ или $ t > 2 $.

4. Выполнение обратной замены и нахождение x

Теперь необходимо вернуться к исходной переменной $ x $, решив совокупность двух неравенств:

1) $ \log_2(-x) < -3 $.

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, знак неравенства при потенцировании не меняется:

$ -x < 2^{-3} \implies -x < \frac{1}{8} \implies x > -\frac{1}{8} $.

2) $ \log_2(-x) > 2 $.

Аналогично потенцируем:

$ -x > 2^2 \implies -x > 4 \implies x < -4 $.

5. Объединение решений с ОДЗ

На последнем шаге необходимо сопоставить найденные решения с областью допустимых значений $ x < 0 $.

Первое решение $ x > -\frac{1}{8} $ в пересечении с ОДЗ дает интервал $ (-\frac{1}{8}; 0) $.

Второе решение $ x < -4 $ уже полностью удовлетворяет условию ОДЗ.

Итоговое решение является объединением этих двух множеств.

Ответ: $ x \in (-\infty; -4) \cup (-\frac{1}{8}; 0) $.