Номер 921, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 921, страница 334.
№921 (с. 334)
Условие. №921 (с. 334)
скриншот условия

921. 1) $(x^2 - 4)\log_{0.5}x > 0;$
2) $(3x - 1)\log_2x > 0;$
3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0.$
Решение 1. №921 (с. 334)



Решение 2. №921 (с. 334)



Решение 3. №921 (с. 334)
1) $(x^2-4)\log_{0,5}x > 0$
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$
Далее решим неравенство методом интервалов. Произведение двух сомножителей положительно, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Найдем нули каждого сомножителя:
1. $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ или $x = -2$.
2. $\log_{0,5}x = 0 \implies x = (0,5)^0 = 1$.
Учитывая ОДЗ ($x>0$), нанесем на числовую ось точки $x=1$ и $x=2$. Они разбивают область определения на три интервала: $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знаки сомножителей и их произведения на каждом интервале.
На интервале $(0; 1)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ (убывающая функция, основание $0,5 < 1$) положителен. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$ отрицательно.
На интервале $(1; 2)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, и сомножитель $\log_{0,5}x$ также отрицателен. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.
На интервале $(2; +\infty)$: сомножитель $(x^2-4)$ положителен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ отрицателен. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.
Таким образом, неравенство выполняется на интервале, где произведение положительно.
Ответ: $(1; 2)$.
2) $(3x-1)\log_{2}x \ge 0$
ОДЗ: $x > 0$.
Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого сомножителя:
1. $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.
2. $\log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$.
Нанесем на числовую ось точки $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$, учитывая ОДЗ ($x>0$). Они разбивают область определения на три интервала: $(0; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знаки произведения на каждом интервале.
На интервале $(0; \frac{1}{3})$: $(3x-1) < 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.
На интервале $(\frac{1}{3}; 1)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.
На интервале $(1; +\infty)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$ положительно.
Неравенство является нестрогим ($\ge 0$), поэтому в решение необходимо включить точки, в которых произведение равно нулю, то есть $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$.
Объединяя интервалы, где произведение положительно, и включая концы, получаем решение.
Ответ: $(0; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.
3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0$
Так как основание внешнего логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно системе, которая учитывает и область определения внешнего логарифма:
$0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 7^0 \implies 0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$
Так как основание внутреннего логарифма $\frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{3})^1 < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < (\frac{1}{3})^0 \implies \frac{1}{3} < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$
Для решения этого двойного неравенства рассмотрим два случая раскрытия модуля.
Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$.
$\frac{1}{3} < \frac{x^2+x-30}{x+6} < 1$
Разложим числитель на множители: $x^2+x-30 = (x+6)(x-5)$. Так как $x \ge 0$, знаменатель $x+6 \ne 0$, и мы можем сократить дробь:
$\frac{1}{3} < x-5 < 1$
Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5+\frac{1}{3} < x < 5+1 \implies \frac{16}{3} < x < 6$.
Полученный интервал $(\frac{16}{3}; 6)$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.
Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$.
$\frac{1}{3} < \frac{x^2-x-30}{x+6} < 1$
Это двойное неравенство равносильно системе:
1) $\frac{x^2-x-30}{x+6} > \frac{1}{3} \implies \frac{3(x^2-x-30)-(x+6)}{3(x+6)} > 0 \implies \frac{3x^2-4x-96}{x+6} > 0$.
Корни числителя $3x^2-4x-96=0$: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4(3)(-96)}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{73}}{3}$.
Решение этого неравенства с учетом $x<0$ есть интервал $x \in (-6; \frac{2-2\sqrt{73}}{3})$.
2) $\frac{x^2-x-30}{x+6} < 1 \implies \frac{x^2-x-30-(x+6)}{x+6} < 0 \implies \frac{x^2-2x-36}{x+6} < 0$.
Корни числителя $x^2-2x-36=0$: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-36)}}{2} = 1 \pm \sqrt{
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 921 расположенного на странице 334 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №921 (с. 334), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.