Номер 921, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 921, страница 334.

Условие.

921. 1) $(x^2 - 4)\log_{0.5}x > 0;$

2) $(3x - 1)\log_2x > 0;$

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(x^2-4)\log_{0,5}x > 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x > 0$

Далее решим неравенство методом интервалов. Произведение двух сомножителей положительно, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны). Найдем нули каждого сомножителя:

1. $x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x = 2$ или $x = -2$.

2. $\log_{0,5}x = 0 \implies x = (0,5)^0 = 1$.

Учитывая ОДЗ ($x>0$), нанесем на числовую ось точки $x=1$ и $x=2$. Они разбивают область определения на три интервала: $(0; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знаки сомножителей и их произведения на каждом интервале.

На интервале $(0; 1)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ (убывающая функция, основание $0,5 < 1$) положителен. Произведение $(-) \cdot (+) = (-)$ отрицательно.

На интервале $(1; 2)$: сомножитель $(x^2-4)$ отрицателен, и сомножитель $\log_{0,5}x$ также отрицателен. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.

На интервале $(2; +\infty)$: сомножитель $(x^2-4)$ положителен, а сомножитель $\log_{0,5}x$ отрицателен. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале, где произведение положительно.

Ответ: $(1; 2)$.

2) $(3x-1)\log_{2}x \ge 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули каждого сомножителя:

1. $3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

2. $\log_2 x = 0 \implies x = 2^0 = 1$.

Нанесем на числовую ось точки $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$, учитывая ОДЗ ($x>0$). Они разбивают область определения на три интервала: $(0; \frac{1}{3})$, $(\frac{1}{3}; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знаки произведения на каждом интервале.

На интервале $(0; \frac{1}{3})$: $(3x-1) < 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(-) \cdot (-) = (+)$ положительно.

На интервале $(\frac{1}{3}; 1)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x < 0$. Произведение $(+) \cdot (-) = (-)$ отрицательно.

На интервале $(1; +\infty)$: $(3x-1) > 0$, $\log_2 x > 0$. Произведение $(+) \cdot (+) = (+)$ положительно.

Неравенство является нестрогим ($\ge 0$), поэтому в решение необходимо включить точки, в которых произведение равно нулю, то есть $x=\frac{1}{3}$ и $x=1$.

Объединяя интервалы, где произведение положительно, и включая концы, получаем решение.

Ответ: $(0; \frac{1}{3}] \cup [1; +\infty)$.

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0$

Так как основание внешнего логарифма $7 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Неравенство равносильно системе, которая учитывает и область определения внешнего логарифма:

$0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 7^0 \implies 0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$

Так как основание внутреннего логарифма $\frac{1}{3} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:

$(\frac{1}{3})^1 < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < (\frac{1}{3})^0 \implies \frac{1}{3} < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$

Для решения этого двойного неравенства рассмотрим два случая раскрытия модуля.

Случай 1: $x \ge 0$. Тогда $|x|=x$.

$\frac{1}{3} < \frac{x^2+x-30}{x+6} < 1$

Разложим числитель на множители: $x^2+x-30 = (x+6)(x-5)$. Так как $x \ge 0$, знаменатель $x+6 \ne 0$, и мы можем сократить дробь:

$\frac{1}{3} < x-5 < 1$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства: $5+\frac{1}{3} < x < 5+1 \implies \frac{16}{3} < x < 6$.

Полученный интервал $(\frac{16}{3}; 6)$ удовлетворяет условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$. Тогда $|x|=-x$.

$\frac{1}{3} < \frac{x^2-x-30}{x+6} < 1$

Это двойное неравенство равносильно системе:

1) $\frac{x^2-x-30}{x+6} > \frac{1}{3} \implies \frac{3(x^2-x-30)-(x+6)}{3(x+6)} > 0 \implies \frac{3x^2-4x-96}{x+6} > 0$.
Корни числителя $3x^2-4x-96=0$: $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-4(3)(-96)}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{73}}{3}$.
Решение этого неравенства с учетом $x<0$ есть интервал $x \in (-6; \frac{2-2\sqrt{73}}{3})$.

2) $\frac{x^2-x-30}{x+6} < 1 \implies \frac{x^2-x-30-(x+6)}{x+6} < 0 \implies \frac{x^2-2x-36}{x+6} < 0$.
Корни числителя $x^2-2x-36=0$: $x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(1)(-36)}}{2} = 1 \pm \sqrt{