Номер 921, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

921. 1) $(x^2 - 4)\log_{0.5}x > 0;$

2) $(3x - 1)\log_2x > 0;$

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0.$

Для решения данных неравенств будем использовать метод интервалов и учитывать область допустимых значений (ОДЗ) логарифмической функции.

1) $(x^2 - 4)\log_{0,5}x > 0$

1. ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть положительным: $x > 0$.
2. Найдем нули функции:
   • $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$ (не входит в ОДЗ).
   • $\log_{0,5}x = 0 \Rightarrow x = 0,5^0 = 1$.
3. Метод интервалов на ОДЗ (0; +∞): Расставим точки 1 и 2 на луче.
   • $(0; 1)$: возьмем $x=0,5$. $(0,25-4) \cdot \log_{0,5}0,5 = (-3,75) \cdot 1 = -3,75 < 0$.
   • $(1; 2)$: возьмем $x=1,5$. $(2,25-4) \cdot \log_{0,5}1,5 = (-1,75) \cdot (\text{отрицательное}) > 0$.
   • $(2; +\infty)$: возьмем $x=4$. $(16-4) \cdot \log_{0,5}4 = 12 \cdot (-2) = -24 < 0$.

Ответ: $(1; 2)$

2) $(3x - 1)\log_2x > 0$

1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Найдем нули:
   • $3x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1/3$.
   • $\log_2x = 0 \Rightarrow x = 1$.
3. Метод интервалов на (0; +∞): Точки $1/3$ и $1$.
   • $(0; 1/3)$: $(-) \cdot (-) = (+)$.
   • $(1/3; 1)$: $(+) \cdot (-) = (-)$.
   • $(1; +\infty)$: $(+) \cdot (+) = (+)$.

Ответ: $(0; 1/3) \cup (1; +\infty)$

3) $\log_7\log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 0$

1. Переход к системе неравенств: Внешний логарифм по основанию 7 (возрастающий), значит: $$0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 7^0$$ $$0 < \log_{\frac{1}{3}}\frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$$
2. Переход ко внутреннему аргументу (основание 1/3 < 1, знаки меняются): $$(\frac{1}{3})^1 < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < (\frac{1}{3})^0$$ $$\frac{1}{3} < \frac{x^2+|x|-30}{x+6} < 1$$
3. Упрощение дроби: При $x > 0$: $\frac{x^2+x-30}{x+6} = \frac{(x+6)(x-5)}{x+6} = x-5$ (при $x \neq -6$). Тогда: $1/3 < x-5 < 1 \Rightarrow 5\frac{1}{3} < x < 6$. При $x < 0$: $\frac{x^2-x-30}{x+6} = \frac{(x-6)(x+5)}{x+6}$. Здесь сокращения нет, нужно решать интервалами, но ОДЗ логарифма требует положительности аргумента.

Ответ: $(5\frac{1}{3}; 6)$