Номер 926, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 926, страница 334.

Условие.

926. Решить неравенство $9^{|x|} - 8 \cdot 3^x > 9$ и указать наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение неравенства

Исходное неравенство: $9^{|x|} - 8 \cdot 3^x > 9$.

Для решения неравенства, содержащего модуль, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Неравенство принимает вид:

$9^x - 8 \cdot 3^x > 9$

Представим $9^x$ как $(3^x)^2$ и перенесем все слагаемые в левую часть:

$(3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 9 > 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $x \ge 0$, то $3^x \ge 3^0$, что означает $t \ge 1$.

В результате замены получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 8t - 9 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 8t - 9 = 0$, используя, например, теорему Виета или формулу корней:

$t_{1,2} = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}$

Корни уравнения: $t_1 = \frac{8 - 10}{2} = -1$ и $t_2 = \frac{8 + 10}{2} = 9$.

Парабола $y=t^2 - 8t - 9$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 8t - 9 > 0$ справедливо при $t < -1$ или $t > 9$.

Учитывая ограничение $t \ge 1$, из найденных решений для $t$ подходит только $t > 9$.

Произведем обратную замену:

$3^x > 9$

$3^x > 3^2$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей:

$x > 2$

Данное решение $x > 2$ удовлетворяет исходному условию $x \ge 0$. Таким образом, решение для первого случая: $x \in (2, \infty)$.

Случай 2: $x < 0$

При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Неравенство принимает вид:

$9^{-x} - 8 \cdot 3^x > 9$

Сделаем замену $y = 3^x$. Учитывая, что $x < 0$, для переменной $y$ имеем ограничение $0 < 3^x < 3^0$, то есть $0 < y < 1$.

Тогда $9^{-x} = (3^2)^{-x} = (3^{-x})^2 = (\frac{1}{3^x})^2 = (\frac{1}{y})^2$. Неравенство преобразуется к виду:

$\frac{1}{y^2} - 8y - 9 > 0$

Умножим обе части на $y^2$. Так как $y > 0$, знак неравенства не меняется:

$1 - 8y^3 - 9y^2 > 0$

$8y^3 + 9y^2 - 1 < 0$

Для решения этого кубического неравенства найдем корни многочлена $P(y) = 8y^3 + 9y^2 - 1$. По теореме о рациональных корнях можно проверить, что $y=-1$ является корнем: $8(-1)^3 + 9(-1)^2 - 1 = -8 + 9 - 1 = 0$.

Разделим многочлен $8y^3 + 9y^2 - 1$ на $(y+1)$: $(8y^3 + 9y^2 - 1) \div (y+1) = 8y^2 + y - 1$.

Найдем корни квадратного трехчлена $8y^2 + y - 1 = 0$:

$y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1)}}{2 \cdot 8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{16}$

Таким образом, корни кубического многочлена: $y_1 = -1$, $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{33}}{16}$, $y_3 = \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$.

Решаем неравенство $8(y+1)(y - \frac{-1 - \sqrt{33}}{16})(y - \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}) < 0$ методом интервалов. Решением является объединение интервалов $y \in (-\infty, -1) \cup (\frac{-1 - \sqrt{33}}{16}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{16})$.

Теперь учтем ограничение $0 < y < 1$.

Первый интервал $(-\infty, -1)$ не имеет пересечения с $(0, 1)$.

Рассмотрим второй интервал $(\frac{-1 - \sqrt{33}}{16}, \frac{-1 + \sqrt{33}}{16})$. Так как $\frac{-1 - \sqrt{33}}{16} < 0$ и $0 < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16} < 1$, пересечением с $(0, 1)$ будет интервал $0 < y < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$.

Произведем обратную замену:

$0 < 3^x < \frac{-1 + \sqrt{33}}{16}$

Прологарифмируем правую часть неравенства по основанию 3:

$x < \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)$

Это значение отрицательно, что согласуется с условием $x < 0$. Решение для второго случая: $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right))$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое множество решений неравенства:

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)) \cup (2, \infty)$.

Наименьшее натуральное число

Необходимо указать наименьшее натуральное число ($x \in \{1, 2, 3, \dots\}$), удовлетворяющее найденному решению $x \in (-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)) \cup (2, \infty)$.

Рассмотрим каждый из интервалов решения:

1. Интервал $(-\infty, \log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right))$. Оценим значение $\log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right)$. Так как $5 < \sqrt{33} < 6$, то $4 < -1+\sqrt{33} < 5$. Тогда $\frac{4}{16} < \frac{-1+\sqrt{33}}{16} < \frac{5}{16}$, то есть $0 < \frac{-1+\sqrt{33}}{16} < 1$. Логарифм числа, меньшего 1, по основанию больше 1 является отрицательным числом. Таким образом, $\log_3\left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{16}\right) < 0$. Этот интервал не содержит натуральных чисел.

2. Интервал $(2, \infty)$. Этот интервал означает, что $x > 2$. Натуральные числа, которые больше 2, это $3, 4, 5, \dots$.

Наименьшим из этих чисел является 3.

Ответ: 3.