Номер 933, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 933, страница 335.

Условие.

Решить неравенство (933—934).

933. $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Исходное неравенство: $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos(4x)}{2}} > -2\cos x$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $\frac{7 - \cos(4x)}{2}$ всегда положительно, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то $6 \le 7 - \cos(4x) \le 8$, и соответственно $3 \le \frac{7 - \cos(4x)}{2} \le 4$. Следовательно, левая часть неравенства определена для любого действительного $x$.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.

Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $-2\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$.

Левая часть неравенства, как корень четной степени, всегда неотрицательна. Неравенство, в котором неотрицательное число сравнивается с отрицательным (неотрицательное > отрицательного), всегда верно. Таким образом, все значения $x$, для которых $\cos x > 0$, являются решениями. Этому условию соответствуют интервалы: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $-2\cos x \ge 0$, что эквивалентно $\cos x \le 0$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Можно возвести обе части в четвертую степень, сохранив знак неравенства:

$\frac{7 - \cos(4x)}{2} > (-2\cos x)^4$

$\frac{7 - \cos(4x)}{2} > 16\cos^4 x$

Преобразуем $\cos(4x)$ с помощью формулы косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$. Подставим это выражение в неравенство:

$\frac{7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1)}{2} > 16\cos^4 x$

$3 - 4\cos^4 x + 4\cos^2 x > 16\cos^4 x$

$20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0$

Пусть $t = \cos^2 x$. С учетом условия $\cos x \le 0$, имеем, что $t \in [0, 1]$. Получим квадратное неравенство $20t^2 - 4t - 3 < 0$.

Найдем корни уравнения $20t^2 - 4t - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 16 + 240 = 256 = 16^2$. Корни равны $t_1 = \frac{4 - 16}{40} = -\frac{3}{10}$ и $t_2 = \frac{4 + 16}{40} = \frac{1}{2}$.

Решением квадратного неравенства является интервал $t \in (-\frac{3}{10}, \frac{1}{2})$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем:

$-\frac{3}{10} < \cos^2 x < \frac{1}{2}$

Поскольку $\cos^2 x \ge 0$, левая часть неравенства выполняется всегда. Остается решить $\cos^2 x < \frac{1}{2}$, что равносильно $|\cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Совместим полученное решение с условием данного случая $\cos x \le 0$. В результате получим: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0$.

Объединим решения обоих случаев.

Решение из первого случая: $\cos x > 0$.

Решение из второго случая: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0$.

Общее решение исходного неравенства является объединением этих двух множеств, что дает одно условие: $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является множество $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.