Номер 933, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 933, страница 335.
№933 (с. 335)
Условие. №933 (с. 335)
скриншот условия

Решить неравенство (933—934).
933. $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos 4x}{2}} > -2\cos x.$
Решение 1. №933 (с. 335)

Решение 2. №933 (с. 335)

Решение 3. №933 (с. 335)
Исходное неравенство: $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos(4x)}{2}} > -2\cos x$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $\frac{7 - \cos(4x)}{2}$ всегда положительно, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$, то $6 \le 7 - \cos(4x) \le 8$, и соответственно $3 \le \frac{7 - \cos(4x)}{2} \le 4$. Следовательно, левая часть неравенства определена для любого действительного $x$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака правой части неравенства.
Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна, то есть $-2\cos x < 0$, что эквивалентно $\cos x > 0$.
Левая часть неравенства, как корень четной степени, всегда неотрицательна. Неравенство, в котором неотрицательное число сравнивается с отрицательным (неотрицательное > отрицательного), всегда верно. Таким образом, все значения $x$, для которых $\cos x > 0$, являются решениями. Этому условию соответствуют интервалы: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: Правая часть неравенства неотрицательна, то есть $-2\cos x \ge 0$, что эквивалентно $\cos x \le 0$.
В этом случае обе части неравенства неотрицательны. Можно возвести обе части в четвертую степень, сохранив знак неравенства:
$\frac{7 - \cos(4x)}{2} > (-2\cos x)^4$
$\frac{7 - \cos(4x)}{2} > 16\cos^4 x$
Преобразуем $\cos(4x)$ с помощью формулы косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(2\cos^2 x - 1)^2 - 1 = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$. Подставим это выражение в неравенство:
$\frac{7 - (8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1)}{2} > 16\cos^4 x$
$3 - 4\cos^4 x + 4\cos^2 x > 16\cos^4 x$
$20\cos^4 x - 4\cos^2 x - 3 < 0$
Пусть $t = \cos^2 x$. С учетом условия $\cos x \le 0$, имеем, что $t \in [0, 1]$. Получим квадратное неравенство $20t^2 - 4t - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $20t^2 - 4t - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 16 + 240 = 256 = 16^2$. Корни равны $t_1 = \frac{4 - 16}{40} = -\frac{3}{10}$ и $t_2 = \frac{4 + 16}{40} = \frac{1}{2}$.
Решением квадратного неравенства является интервал $t \in (-\frac{3}{10}, \frac{1}{2})$. Возвращаясь к переменной $x$, получаем:
$-\frac{3}{10} < \cos^2 x < \frac{1}{2}$
Поскольку $\cos^2 x \ge 0$, левая часть неравенства выполняется всегда. Остается решить $\cos^2 x < \frac{1}{2}$, что равносильно $|\cos x| < \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Совместим полученное решение с условием данного случая $\cos x \le 0$. В результате получим: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0$.
Объединим решения обоих случаев.
Решение из первого случая: $\cos x > 0$.
Решение из второго случая: $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \cos x \le 0$.
Общее решение исходного неравенства является объединением этих двух множеств, что дает одно условие: $\cos x > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является множество $x \in (-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \frac{3\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 933 расположенного на странице 335 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №933 (с. 335), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.