Номер 934, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 934, страница 335.

Условие.

934. $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos4x}{2}} > -2\sin x$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решим неравенство $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos(4x)}{2}} > -2\sin(x)$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $\frac{7 - \cos(4x)}{2} \ge 0$. Поскольку область значений функции косинус $E(\cos) = [-1, 1]$, то выражение $7 - \cos(4x)$ принимает значения в диапазоне от $7-1=6$ до $7-(-1)=8$. Следовательно, подкоренное выражение $\frac{7 - \cos(4x)}{2}$ всегда положительно (принимает значения от 3 до 4). Таким образом, ОДЗ — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Левая часть неравенства, $\sqrt[4]{\frac{7 - \cos(4x)}{2}}$, является корнем четной степени, поэтому она всегда неотрицательна. Знак правой части, $-2\sin(x)$, зависит от знака $\sin(x)$. В связи с этим, рассмотрим два случая.

1. Случай, когда правая часть отрицательна.
Это происходит, если $-2\sin(x) < 0$, что эквивалентно $\sin(x) > 0$.В этом случае левая часть неравенства, будучи неотрицательной, всегда больше отрицательной правой части. Следовательно, все значения $x$, для которых $\sin(x) > 0$, являются решениями неравенства. Это соответствует интервалам $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Случай, когда правая часть неотрицательна.
Это происходит, если $-2\sin(x) \ge 0$, что эквивалентно $\sin(x) \le 0$.В этом случае обе части неравенства неотрицательны, и мы можем возвести их в четвертую степень, сохраняя знак неравенства:$$ \left(\sqrt[4]{\frac{7 - \cos(4x)}{2}}\right)^4 > (-2\sin(x))^4 $$$$ \frac{7 - \cos(4x)}{2} > 16\sin^4(x) $$Преобразуем $\cos(4x)$, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ и синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$:$ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(2\sin(x)\cos(x))^2 = 1 - 8\sin^2(x)\cos^2(x) $.Заменим $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:$ \cos(4x) = 1 - 8\sin^2(x)(1 - \sin^2(x)) = 1 - 8\sin^2(x) + 8\sin^4(x) $.Подставим это выражение в неравенство:$$ \frac{7 - (1 - 8\sin^2(x) + 8\sin^4(x))}{2} > 16\sin^4(x) $$$$ \frac{6 + 8\sin^2(x) - 8\sin^4(x)}{2} > 16\sin^4(x) $$$$ 3 + 4\sin^2(x) - 4\sin^4(x) > 16\sin^4(x) $$$$ 20\sin^4(x) - 4\sin^2(x) - 3 < 0 $$Сделаем замену $t = \sin^2(x)$. Учитывая условие этого случая ($\sin(x) \le 0$), имеем $-1 \le \sin(x) \le 0$, откуда $0 \le \sin^2(x) \le 1$. Таким образом, $0 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид:$$ 20t^2 - 4t - 3 < 0 $$Найдем корни квадратного трехчлена $20t^2 - 4t - 3 = 0$.Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.Корни: $t_1 = \frac{4 - 16}{40} = -\frac{12}{40} = -\frac{3}{10}$, $t_2 = \frac{4 + 16}{40} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}$.Решением неравенства $20t^2 - 4t - 3 < 0$ является интервал $t \in (-\frac{3}{10}, \frac{1}{2})$.С учетом ограничения $0 \le t \le 1$, получаем $0 \le t < \frac{1}{2}$.Возвращаемся к переменной $x$:$$ 0 \le \sin^2(x) < \frac{1}{2} $$Это равносильно $-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin(x) < \frac{1}{\sqrt{2}}$, или $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$.Совмещая полученное решение с условием второго случая ($\sin(x) \le 0$), получаем:$$ -\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin(x) \le 0 $$

Объединение результатов.
Общее решение исходного неравенства является объединением решений, найденных в двух случаях:
1) $\sin(x) > 0$
2) $-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin(x) \le 0$
Объединяя эти два условия, мы получаем одно общее условие:$$ \sin(x) > -\frac{\sqrt{2}}{2} $$Решим это тригонометрическое неравенство. Функция $\sin(x)$ принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ в точках $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.Неравенство $\sin(x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется для всех $x$, которые на тригонометрической окружности лежат на дуге, идущей от точки $-\frac{\pi}{4}$ к точке $\frac{5\pi}{4}$ против часовой стрелки.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.