Номер 929, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 929, страница 335.

Условие.

929. 1) $ \sqrt{\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4}} \ge 3x - 10; $

2) $ \sqrt{\frac{2x^3 - 22x^2 + 60x}{x-6}} \ge 2x - 10. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\sqrt{\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4}} \ge 3x - 10$

Решение данного иррационального неравенства вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ сводится к рассмотрению двух случаев, но сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Нахождение ОДЗ:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4} \ge 0$

Разложим числитель на множители. Вынесем $x$ за скобки:

$3x^3 - 22x^2 + 40x = x(3x^2 - 22x + 40)$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 22x + 40=0$ через дискриминант:

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 = 2^2$

$x_{1,2} = \frac{22 \pm 2}{2 \cdot 3} \implies x_1 = \frac{24}{6} = 4, \quad x_2 = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Таким образом, числитель равен $x(3x-10)(x-4)$. Неравенство для ОДЗ принимает вид:

$\frac{x(3x-10)(x-4)}{x-4} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой нули числителя ($x=0, x=10/3, x=4$) и нуль знаменателя ($x=4$). Точка $x=4$ выкалывается в любом случае.

При $x \ne 4$ неравенство равносильно $x(3x-10) \ge 0$. Корни $0$ и $10/3$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, \infty)$.

Учитывая ограничение $x \ne 4$, получаем ОДЗ:

$x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$.

Теперь рассмотрим два случая для исходного неравенства.

Случай 1: Правая часть отрицательна.

$3x - 10 < 0 \implies 3x < 10 \implies x < \frac{10}{3}$.

В этом случае левая часть (арифметический квадратный корень) всегда больше или равна нулю, а правая часть отрицательна. Неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ, удовлетворяющих условию $x < 10/3$.

Найдем пересечение множества $x < 10/3$ с ОДЗ: $(-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$.

Пересечением является интервал $(-\infty, 0]$. Это первая часть решения.

Случай 2: Правая часть неотрицательна.

$3x - 10 \ge 0 \implies x \ge \frac{10}{3}$.

В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести их в квадрат. Это преобразование будет равносильным на области допустимых значений.

$\frac{3x^3 - 22x^2 + 40x}{x-4} \ge (3x - 10)^2$

На ОДЗ при $x \ge 10/3$, т.е. на множестве $[\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$, выражение $\frac{(x-4)}{(x-4)}$ равно 1. Левую часть можно упростить:

$x(3x-10) \ge (3x-10)^2$

Перенесем все в одну сторону и разложим на множители:

$x(3x-10) - (3x-10)^2 \ge 0$

$(3x-10)(x - (3x-10)) \ge 0$

$(3x-10)(x - 3x + 10) \ge 0$

$(3x-10)(-2x + 10) \ge 0$

$-2(3x-10)(x-5) \ge 0$

Разделим на -2, изменив знак неравенства:

$(3x-10)(x-5) \le 0$

Решением этого квадратного неравенства является отрезок $[\frac{10}{3}, 5]$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условиями данного случая: $x \ge \frac{10}{3}$ и $x$ принадлежит ОДЗ. Область для этого случая: $[\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$.

Пересечение $[\frac{10}{3}, 5]$ с $[\frac{10}{3}, 4) \cup (4, \infty)$ дает нам $[\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5]$. Это вторая часть решения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем окончательный ответ.

$(-\infty, 0] \cup ([\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5])$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{10}{3}, 4) \cup (4, 5]$.

2) $\sqrt{\frac{2x^3 - 22x^2 + 60x}{x-6}} \ge 2x - 10$

Нахождение ОДЗ:

$\frac{2x^3 - 22x^2 + 60x}{x-6} \ge 0$

Разложим числитель на множители: $2x(x^2 - 11x + 30)$.

Корни трехчлена $x^2 - 11x + 30 = 0$ по теореме Виета равны 5 и 6. Таким образом, числитель равен $2x(x-5)(x-6)$.

Неравенство для ОДЗ: $\frac{2x(x-5)(x-6)}{x-6} \ge 0$.

При $x \ne 6$ неравенство равносильно $2x(x-5) \ge 0$. Решением является $x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.

Учитывая, что $x \ne 6$, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0] \cup [5, 6) \cup (6, \infty)$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $2x - 10 < 0 \implies 2x < 10 \implies x < 5$.

Неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ, удовлетворяющих условию $x < 5$.

Найдем пересечение $x < 5$ и ОДЗ $(-\infty, 0] \cup [5, 6) \cup (6, \infty)$.

Пересечение дает $(-\infty, 0]$. Это первая часть решения.

Случай 2: $2x - 10 \ge 0 \implies x \ge 5$.

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат на ОДЗ, где $x \ge 5$. Эта область: $[5, 6) \cup (6, \infty)$.

$\frac{2x(x-5)(x-6)}{x-6} \ge (2x-10)^2$

На указанной области можем сократить $(x-6)$:

$2x(x-5) \ge (2(x-5))^2$

$2x(x-5) \ge 4(x-5)^2$

$4(x-5)^2 - 2x(x-5) \le 0$

$2(x-5)(2(x-5) - x) \le 0$

$2(x-5)(2x - 10 - x) \le 0$

$2(x-5)(x-10) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок $[5, 10]$.

Найдем пересечение этого решения с условиями случая: $x \ge 5$ и $x \in [5, 6) \cup (6, \infty)$.

Пересечение $[5, 10]$ и $[5, 6) \cup (6, \infty)$ дает $[5, 6) \cup (6, 10]$. Это вторая часть решения.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:

$(-\infty, 0] \cup [5, 6) \cup (6, 10]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [5, 6) \cup (6, 10]$.