Номер 930, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 930, страница 335.

Условие.

930. 1) $cos(-3x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2};$

2) $cos(2x - \frac{\pi}{3}) < -\frac{1}{2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $ \cos(-3x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Поскольку функция косинус является четной, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $, мы можем переписать неравенство в виде: $ \cos(3x) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Введем замену переменной. Пусть $ t = 3x $. Тогда неравенство примет вид: $ \cos(t) \ge \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Решением этого простейшего тригонометрического неравенства является множество значений $ t $, удовлетворяющих двойному неравенству: $ -\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n \le t \le \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Так как $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le t \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Теперь вернемся к исходной переменной $ x $, подставив $ t = 3x $: $ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 3x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n $.
Разделим все части неравенства на 3, чтобы выразить $ x $: $ \frac{-\pi/6}{3} + \frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{\pi/6}{3} + \frac{2\pi n}{3} $.
$ -\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} \le x \le \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3} $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Ответ: $ x \in \left[-\frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}; \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi n}{3}\right], n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) < -\frac{1}{2} $.
Введем замену переменной. Пусть $ t = 2x - \frac{\pi}{3} $. Неравенство примет вид: