Номер 928, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 928, страница 335.
№928 (с. 335)
Условие. №928 (с. 335)
скриншот условия

928. 1) $\frac{13-3x+\sqrt{x^2-x-6}}{5-x} > 1$;
2) $\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3} < -1$.
Решение 1. №928 (с. 335)


Решение 2. №928 (с. 335)


Решение 3. №928 (с. 335)
1) Решим неравенство $\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} > 1$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - x - 6 \ge 0$.
Разложим на множители: $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x \ne 0$, то есть $x \ne 5$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5) \cup (5, +\infty)$.
Теперь преобразуем исходное неравенство, перенеся 1 в левую часть:
$\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} - 1 > 0$
$\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6} - (5 - x)}{5 - x} > 0$
$\frac{8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} > 0$
Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Числитель и знаменатель положительны.
$\{ \begin{array}{l} 8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6} > 0 \\ 5 - x > 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 - x - 6} > 2x - 8 \\ x < 5 \end{array}$
Решим первое неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} > 2x - 8$. Оно равносильно совокупности двух систем:
а) $\{ \begin{array}{l} 2x - 8 < 0 \\ x^2 - x - 6 \ge 0 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x < 4 \\ x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \end{array} \implies x \in (-\infty, -2] \cup [3, 4)$.
б) $\{ \begin{array}{l} 2x - 8 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 > (2x - 8)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \ge 4 \\ x^2 - x - 6 > 4x^2 - 32x + 64 \end{array}$
Решим второе неравенство системы б): $3x^2 - 31x + 70 < 0$. Корни квадратного трехчлена $3x^2 - 31x + 70 = 0$ равны $x_1 = \frac{10}{3}$ и $x_2 = 7$. Следовательно, $x \in (\frac{10}{3}, 7)$.
Пересекая с условием $x \ge 4$, получаем $x \in [4, 7)$.
Объединение решений а) и б) дает $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 7)$.
Теперь учтем условие $x < 5$ из системы случая 1, а также ОДЗ. Получаем решение для первого случая: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5)$.
Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.
$\{ \begin{array}{l} 8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6} < 0 \\ 5 - x < 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 - x - 6} < 2x - 8 \\ x > 5 \end{array}$
Первое неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} < 2x - 8$ равносильно системе:
$\{ \begin{array}{l} x^2 - x - 6 \ge 0 \\ 2x - 8 > 0 \\ x^2 - x - 6 < (2x - 8)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \\ x > 4 \\ 3x^2 - 31x + 70 > 0 \end{array}$
Решение неравенства $3x^2 - 31x + 70 > 0$ есть $x \in (-\infty, \frac{10}{3}) \cup (7, +\infty)$.
Пересечение всех трех условий системы дает $x \in (7, +\infty)$.
Это решение удовлетворяет условию $x > 5$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5) \cup (7, +\infty)$.
2) Решим неравенство $\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} < -1$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $x^2 + 3x - 4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Тогда $(x+4)(x-1) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.
2. $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3) \cup (3, +\infty)$.
Преобразуем неравенство:
$\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} + 1 < 0$
$\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} + x - 3}{x - 3} < 0$
$\frac{4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} < 0$
Дробь меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.
Случай 1: Числитель отрицателен, а знаменатель положителен.
$\{ \begin{array}{l} 4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} < 0 \\ x - 3 > 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 + 3x - 4} < 2x - 4 \\ x > 3 \end{array}$
Первое неравенство равносильно системе:
$\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ 2x - 4 > 0 \\ x^2 + 3x - 4 < (2x - 4)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \\ x > 2 \\ 3x^2 - 19x + 20 > 0 \end{array}$
Корни $3x^2 - 19x + 20=0$ равны $x_1=\frac{4}{3}$ и $x_2=5$. Решение неравенства $x \in (-\infty, \frac{4}{3}) \cup (5, +\infty)$.
Пересечение всех трех условий дает $x \in (5, +\infty)$. Это решение удовлетворяет условию $x > 3$.
Случай 2: Числитель положителен, а знаменатель отрицателен.
$\{ \begin{array}{l} 4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} > 0 \\ x - 3 < 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 + 3x - 4} > 2x - 4 \\ x < 3 \end{array}$
Решим первое неравенство $\sqrt{x^2 + 3x - 4} > 2x - 4$. Оно равносильно совокупности двух систем:
а) $\{ \begin{array}{l} 2x - 4 < 0 \\ x^2 + 3x - 4 \ge 0 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x < 2 \\ x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \end{array} \implies x \in (-\infty, -4] \cup [1, 2)$.
б) $\{ \begin{array}{l} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 4 > (2x - 4)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \ge 2 \\ 3x^2 - 19x + 20 < 0 \end{array}$
Решение неравенства $3x^2 - 19x + 20 < 0$ есть $x \in (\frac{4}{3}, 5)$.
Пересекая с условием $x \ge 2$, получаем $x \in [2, 5)$.
Объединение решений а) и б) дает $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 5)$.
Учитывая условие $x < 3$ из системы случая 2 и ОДЗ, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3)$.
Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3) \cup (5, +\infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 928 расположенного на странице 335 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №928 (с. 335), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.