Номер 928, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 928, страница 335.

Условие.

928. 1) $\frac{13-3x+\sqrt{x^2-x-6}}{5-x} > 1$;

2) $\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3} < -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} > 1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - x - 6 \ge 0$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 2) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty)$.

2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x \ne 0$, то есть $x \ne 5$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5) \cup (5, +\infty)$.

Теперь преобразуем исходное неравенство, перенеся 1 в левую часть:

$\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} - 1 > 0$

$\frac{13 - 3x + \sqrt{x^2 - x - 6} - (5 - x)}{5 - x} > 0$

$\frac{8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6}}{5 - x} > 0$

Дробь больше нуля, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны.

$\{ \begin{array}{l} 8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6} > 0 \\ 5 - x > 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 - x - 6} > 2x - 8 \\ x < 5 \end{array}$

Решим первое неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} > 2x - 8$. Оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\{ \begin{array}{l} 2x - 8 < 0 \\ x^2 - x - 6 \ge 0 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x < 4 \\ x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \end{array} \implies x \in (-\infty, -2] \cup [3, 4)$.

б) $\{ \begin{array}{l} 2x - 8 \ge 0 \\ x^2 - x - 6 > (2x - 8)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \ge 4 \\ x^2 - x - 6 > 4x^2 - 32x + 64 \end{array}$

Решим второе неравенство системы б): $3x^2 - 31x + 70 < 0$. Корни квадратного трехчлена $3x^2 - 31x + 70 = 0$ равны $x_1 = \frac{10}{3}$ и $x_2 = 7$. Следовательно, $x \in (\frac{10}{3}, 7)$.

Пересекая с условием $x \ge 4$, получаем $x \in [4, 7)$.

Объединение решений а) и б) дает $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 7)$.

Теперь учтем условие $x < 5$ из системы случая 1, а также ОДЗ. Получаем решение для первого случая: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5)$.

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.

$\{ \begin{array}{l} 8 - 2x + \sqrt{x^2 - x - 6} < 0 \\ 5 - x < 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 - x - 6} < 2x - 8 \\ x > 5 \end{array}$

Первое неравенство $\sqrt{x^2 - x - 6} < 2x - 8$ равносильно системе:

$\{ \begin{array}{l} x^2 - x - 6 \ge 0 \\ 2x - 8 > 0 \\ x^2 - x - 6 < (2x - 8)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \in (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \\ x > 4 \\ 3x^2 - 31x + 70 > 0 \end{array}$

Решение неравенства $3x^2 - 31x + 70 > 0$ есть $x \in (-\infty, \frac{10}{3}) \cup (7, +\infty)$.

Пересечение всех трех условий системы дает $x \in (7, +\infty)$.

Это решение удовлетворяет условию $x > 5$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [3, 5) \cup (7, +\infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} < -1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x^2 + 3x - 4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ это $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Тогда $(x+4)(x-1) \ge 0$, откуда $x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty)$.

2. $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3) \cup (3, +\infty)$.

Преобразуем неравенство:

$\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} + 1 < 0$

$\frac{7 - 3x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} + x - 3}{x - 3} < 0$

$\frac{4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4}}{x - 3} < 0$

Дробь меньше нуля, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Числитель отрицателен, а знаменатель положителен.

$\{ \begin{array}{l} 4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} < 0 \\ x - 3 > 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 + 3x - 4} < 2x - 4 \\ x > 3 \end{array}$

Первое неравенство равносильно системе:

$\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 \ge 0 \\ 2x - 4 > 0 \\ x^2 + 3x - 4 < (2x - 4)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \\ x > 2 \\ 3x^2 - 19x + 20 > 0 \end{array}$

Корни $3x^2 - 19x + 20=0$ равны $x_1=\frac{4}{3}$ и $x_2=5$. Решение неравенства $x \in (-\infty, \frac{4}{3}) \cup (5, +\infty)$.

Пересечение всех трех условий дает $x \in (5, +\infty)$. Это решение удовлетворяет условию $x > 3$.

Случай 2: Числитель положителен, а знаменатель отрицателен.

$\{ \begin{array}{l} 4 - 2x + \sqrt{x^2 + 3x - 4} > 0 \\ x - 3 < 0 \end{array} \quad \implies \quad \{ \begin{array}{l} \sqrt{x^2 + 3x - 4} > 2x - 4 \\ x < 3 \end{array}$

Решим первое неравенство $\sqrt{x^2 + 3x - 4} > 2x - 4$. Оно равносильно совокупности двух систем:

а) $\{ \begin{array}{l} 2x - 4 < 0 \\ x^2 + 3x - 4 \ge 0 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x < 2 \\ x \in (-\infty, -4] \cup [1, +\infty) \end{array} \implies x \in (-\infty, -4] \cup [1, 2)$.

б) $\{ \begin{array}{l} 2x - 4 \ge 0 \\ x^2 + 3x - 4 > (2x - 4)^2 \end{array} \implies \{ \begin{array}{l} x \ge 2 \\ 3x^2 - 19x + 20 < 0 \end{array}$

Решение неравенства $3x^2 - 19x + 20 < 0$ есть $x \in (\frac{4}{3}, 5)$.

Пересекая с условием $x \ge 2$, получаем $x \in [2, 5)$.

Объединение решений а) и б) дает $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 5)$.

Учитывая условие $x < 3$ из системы случая 2 и ОДЗ, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, 3) \cup (5, +\infty)$.