Номер 925, страница 334 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 925, страница 334.

Условие.

925. 1) $4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \log_{\sqrt{4x+3}}(3|x|+1) > 0;$

2) $\log_{2|x|+1}(7x+4) - \log_{7x+4}(2|x|+1) > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Исходное неравенство: $4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \log_{\sqrt{4x+3}}(3|x|+1) > 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основания логарифмов должны быть положительны и не равны единице, а подкоренное выражение должно быть положительным:
1. $3|x|+1 > 0 \implies$ выполняется для любого $x$, так как $|x| \ge 0$.
2. $3|x|+1 \ne 1 \implies 3|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
3. $\sqrt{4x+3} > 0 \implies 4x+3 > 0 \implies x > -3/4$.
4. $\sqrt{4x+3} \ne 1 \implies 4x+3 \ne 1 \implies 4x \ne -2 \implies x \ne -1/2$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (0, \infty)$.

Преобразуем неравенство. Заметим, что второй логарифм является обратным к первому по основанию и аргументу: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$4\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} - \frac{1}{\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}} > 0$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3}$.
Неравенство принимает вид: $4t - \frac{1}{t} > 0$.

Решим полученное неравенство относительно $t$:
$\frac{4t^2-1}{t} > 0 \implies \frac{(2t-1)(2t+1)}{t} > 0$.
Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $t \in (-1/2, 0) \cup (1/2, \infty)$.
Это равносильно совокупности двух систем:
1) $-1/2 < \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} < 0$
2) $\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} > 1/2$

Рассмотрим основание логарифма $a = 3|x|+1$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|>0$, и $a = 3|x|+1 > 1$. Следовательно, логарифмическая функция по этому основанию является возрастающей, и знаки неравенств при потенцировании сохраняются.

Решим первую систему: $-1/2 < \log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} < 0$.
Это равносильно системе $(3|x|+1)^{-1/2} < \sqrt{4x+3} < (3|x|+1)^0$.
$\frac{1}{\sqrt{3|x|+1}} < \sqrt{4x+3} < 1$.
Из $\sqrt{4x+3} < 1$ следует $4x+3 < 1 \implies 4x < -2 \implies x < -1/2$.
Из $\frac{1}{\sqrt{3|x|+1}} < \sqrt{4x+3}$ следует $1 < (4x+3)(3|x|+1)$.
Так как $x < -1/2$ (и из ОДЗ $x > -3/4$), то $x$ отрицателен, поэтому $|x|=-x$.
$1 < (4x+3)(-3x+1) \implies 1 < -12x^2 -5x + 3 \implies 12x^2+5x-2 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $12x^2+5x-2=0$ равны $x_1 = -2/3$ и $x_2=1/4$.
Решение неравенства: $x \in (-2/3, 1/4)$.
Пересекая это решение с условием $x < -1/2$ и ОДЗ $x \in (-3/4, -1/2)$, получаем: $x \in (-2/3, -1/2)$.

Решим вторую систему: $\log_{3|x|+1}\sqrt{4x+3} > 1/2$.
$\sqrt{4x+3} > (3|x|+1)^{1/2}$.
Возводим в квадрат: $4x+3 > 3|x|+1 \implies 4x+2 > 3|x|$.
Рассмотрим два случая:
а) $x > 0$ (входит в ОДЗ). Тогда $|x|=x$.
$4x+2 > 3x \implies x > -2$. В пересечении с $x>0$ получаем $x>0$. С учетом ОДЗ, решение: $(0, \infty)$.
б) $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0)$. Тогда $|x|=-x$.
$4x+2 > -3x \implies 7x > -2 \implies x > -2/7$.
Пересекая $x > -2/7$ с $x \in (-3/4, -1/2) \cup (-1/2, 0)$, получаем $x \in (-2/7, 0)$.
Объединяя решения для этого случая, получаем: $x \in (-2/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-2/3, -1/2) \cup (-2/7, 0) \cup (0, \infty)$.

---

2)

Исходное неравенство: $\log_{2|x|+1}(7x+4) - \log_{7x+4}(2|x|+1) > 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Основания и аргументы логарифмов должны быть положительны, а основания не должны быть равны единице:
1. $2|x|+1 > 0 \implies$ выполняется для любого $x$, так как $|x| \ge 0$.
2. $2|x|+1 \ne 1 \implies 2|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
3. $7x+4 > 0 \implies 7x > -4 \implies x > -4/7$.
4. $7x+4 \ne 1 \implies 7x \ne -3 \implies x \ne -3/7$.
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0) \cup (0, \infty)$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$.
$\log_{2|x|+1}(7x+4) - \frac{1}{\log_{2|x|+1}(7x+4)} > 0$.
Сделаем замену: пусть $t = \log_{2|x|+1}(7x+4)$.
Неравенство принимает вид: $t - \frac{1}{t} > 0$.

Решим полученное неравенство относительно $t$:
$\frac{t^2-1}{t} > 0 \implies \frac{(t-1)(t+1)}{t} > 0$.
Методом интервалов находим, что решение этого неравенства: $t \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.
Это равносильно совокупности двух систем:
1) $-1 < \log_{2|x|+1}(7x+4) < 0$
2) $\log_{2|x|+1}(7x+4) > 1$

Рассмотрим основание логарифма $a = 2|x|+1$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, то $|x|>0$, и $a = 2|x|+1 > 1$. Следовательно, логарифмическая функция по этому основанию является возрастающей.

Решим первую систему: $-1 < \log_{2|x|+1}(7x+4) < 0$.
Это равносильно системе $(2|x|+1)^{-1} < 7x+4 < (2|x|+1)^0$.
$\frac{1}{2|x|+1} < 7x+4 < 1$.
Из $7x+4 < 1$ следует $7x < -3 \implies x < -3/7$.
Из $\frac{1}{2|x|+1} < 7x+4$ следует $1 < (7x+4)(2|x|+1)$.
Так как $x < -3/7$ (и из ОДЗ $x > -4/7$), то $x$ отрицателен, поэтому $|x|=-x$.
$1 < (7x+4)(-2x+1) \implies 1 < -14x^2 -x + 4 \implies 14x^2+x-3 < 0$.
Корни квадратного трехчлена $14x^2+x-3=0$ равны $x_1 = -1/2$ и $x_2=3/7$.
Решение неравенства: $x \in (-1/2, 3/7)$.
Найдем пересечение решений: $x \in (-4/7, -3/7)$ (из ОДЗ и $x<-3/7$) и $x \in (-1/2, 3/7)$.
Сравним числа: $-4/7 \approx -0.571$, $-1/2 = -0.5$, $-3/7 \approx -0.428$. Отсюда $-4/7 < -1/2 < -3/7$.
Пересечение интервалов $(-4/7, -3/7)$ и $(-1/2, 3/7)$ дает $x \in (-1/2, -3/7)$.

Решим вторую систему: $\log_{2|x|+1}(7x+4) > 1$.
$7x+4 > 2|x|+1 \implies 7x+3 > 2|x|$.
Рассмотрим два случая:
а) $x > 0$ (входит в ОДЗ). Тогда $|x|=x$.
$7x+3 > 2x \implies 5x > -3 \implies x > -3/5$. В пересечении с $x>0$ получаем $x>0$. С учетом ОДЗ, решение: $(0, \infty)$.
б) $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0)$. Тогда $|x|=-x$.
$7x+3 > -2x \implies 9x > -3 \implies x > -1/3$.
Сравним числа: $-4/7 < -3/7 < -1/3$.
Пересекая $x > -1/3$ с $x \in (-4/7, -3/7) \cup (-3/7, 0)$, получаем $x \in (-1/3, 0)$.
Объединяя решения для этого случая, получаем: $x \in (-1/3, 0) \cup (0, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-1/2, -3/7) \cup (-1/3, 0) \cup (0, \infty)$.