Номер 932, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 932, страница 335.

Условие.

932. С помощью графиков тригонометрических функций найти все решения неравенства, заключённые в промежутке $[-3\pi; \pi]$:

1) $2\cos x - \sqrt{3} < 0;$

2) $\sqrt{2}\sin x + 1 \ge 0;$

3) $\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \le 0;$

4) $3\operatorname{tg} x - 2 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим неравенство $2\cos x - \sqrt{3} < 0$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$.

Сначала преобразуем неравенство: $2\cos x < \sqrt{3}$ $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Задача сводится к нахождению таких значений $x$, при которых график функции $y = \cos x$ находится ниже горизонтальной прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем точки пересечения этих графиков, решив уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Общее решение этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

На одном периоде, например, от $-\pi$ до $\pi$, график $y=\cos x$ лежит ниже прямой $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервалах $(-\pi, -\frac{\pi}{6})$ и $(\frac{\pi}{6}, \pi)$. В общем виде решение неравенства $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ записывается как объединение интервалов: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{11\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем те решения, которые попадают в заданный промежуток $[-3\pi; \pi]$. Для этого будем подставлять различные целые значения $k$:

• При $k=0$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает нам промежуток $(\frac{\pi}{6}, \pi]$.
• При $k=-1$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6} - 2\pi, \frac{11\pi}{6} - 2\pi)$, то есть $(-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6})$. Этот промежуток полностью входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-2$: получаем интервал $(\frac{\pi}{6} - 4\pi, \frac{11\pi}{6} - 4\pi)$, то есть $(-\frac{23\pi}{6}, -\frac{13\pi}{6})$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ (учитывая, что $-3\pi = -\frac{18\pi}{6}$) дает нам промежуток $[-3\pi, -\frac{13\pi}{6})$.
• При $k=-3$ и меньше, а также при $k=1$ и больше, интервалы решений не пересекаются с промежутком $[-3\pi; \pi]$.

Объединив найденные промежутки, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in [-3\pi, -\frac{13\pi}{6}) \cup (-\frac{11\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{6}, \pi]$.

---

2) Решим неравенство $\sqrt{2}\sin x + 1 \ge 0$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$.

Преобразуем неравенство: $\sqrt{2}\sin x \ge -1$ $\sin x \ge -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Графически это означает, что нам нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y = \sin x$ расположен не ниже горизонтальной прямой $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сначала решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ и $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. На графике синусоиды видно, что $\sin x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутках вида $[-\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$.

Выберем решения, принадлежащие отрезку $[-3\pi; \pi]$:

• При $k=0$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ дает $[-\frac{\pi}{4}, \pi]$.
• При $k=-1$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{4} - 2\pi, \frac{5\pi}{4} - 2\pi]$, то есть $[-\frac{9\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}]$. Этот отрезок полностью входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-2$: получаем отрезок $[-\frac{\pi}{4} - 4\pi, \frac{5\pi}{4} - 4\pi]$, то есть $[-\frac{17\pi}{4}, -\frac{11\pi}{4}]$. Пересечение с $[-3\pi; \pi]$ (учитывая, что $-3\pi = -\frac{12\pi}{4}$) дает отрезок $[-3\pi, -\frac{11\pi}{4}]$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in [-3\pi, -\frac{11\pi}{4}] \cup [-\frac{9\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}] \cup [-\frac{\pi}{4}, \pi]$.

---

3) Решим неравенство $\sqrt{3} + \tan x \le 0$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$.

Преобразуем неравенство: $\tan x \le -\sqrt{3}$

Мы ищем значения $x$, при которых график функции $y = \tan x$ находится не выше прямой $y = -\sqrt{3}$. Область определения тангенса: $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решим уравнение $\tan x = -\sqrt{3}$. Общее решение: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Функция $y=\tan x$ является возрастающей на каждом интервале своей непрерывности. Поэтому решение неравенства на одном периоде, например $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, будет $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$. Общее решение неравенства: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi k, -\frac{\pi}{3} + \pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем решения из промежутка $[-3\pi; \pi]$:

• При $k=1$: получаем $(\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=0$: получаем $(-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-1$: получаем $(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-2$: получаем $(-\frac{5\pi}{2}, -\frac{7\pi}{3}]$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-3$: получаем $(-\frac{7\pi}{2}, -\frac{10\pi}{3}]$. Этот интервал лежит левее $-3\pi$, поэтому не пересекается с заданным промежутком.

Объединяем найденные промежутки.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{2}, -\frac{7\pi}{3}] \cup (-\frac{3\pi}{2}, -\frac{4\pi}{3}] \cup (-\frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{3}] \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}]$.

---

4) Решим неравенство $3\tan x - 2 > 0$ на промежутке $[-3\pi; \pi]$.

Преобразуем неравенство: $3\tan x > 2$ $\tan x > \frac{2}{3}$

Ищем значения $x$, при которых график $y = \tan x$ лежит выше прямой $y = \frac{2}{3}$.

Решим уравнение $\tan x = \frac{2}{3}$. Общее решение: $x = \arctan(\frac{2}{3}) + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Так как тангенс - функция возрастающая, то решение неравенства на одном периоде $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ имеет вид $(\arctan(\frac{2}{3}), \frac{\pi}{2})$. Общее решение: $x \in (\arctan(\frac{2}{3}) + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Выберем решения из промежутка $[-3\pi; \pi]$:

• При $k=0$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}), \frac{\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-1$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}) - \pi, -\frac{\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-2$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}) - 2\pi, -\frac{3\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$.
• При $k=-3$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}) - 3\pi, -\frac{5\pi}{2})$. Входит в $[-3\pi; \pi]$, так как $\arctan(\frac{2}{3}) - 3\pi > -3\pi$.
• При $k=-4$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}) - 4\pi, -\frac{7\pi}{2})$. Этот интервал лежит левее $-3\pi$.
• При $k=1$: получаем $(\arctan(\frac{2}{3}) + \pi, \frac{3\pi}{2})$. Этот интервал лежит правее $\pi$.

Объединяем найденные промежутки.

Ответ: $x \in (\arctan(\frac{2}{3}) - 3\pi, -\frac{5\pi}{2}) \cup (\arctan(\frac{2}{3}) - 2\pi, -\frac{3\pi}{2}) \cup (\arctan(\frac{2}{3}) - \pi, -\frac{\pi}{2}) \cup (\arctan(\frac{2}{3}), \frac{\pi}{2})$.