Номер 937, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

937. 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0;$

2) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c).$

Для доказательства данных неравенств мы будем использовать классическое неравенство о средних (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического — неравенство Коши) и метод выделения полного квадрата.

1) Доказать: $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$, если $a > 0, b > 0, c > 0$

Воспользуемся неравенством Коши для трёх положительных чисел $x_1, x_2, x_3$:

$$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \ge \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$$

Пусть $x_1 = \frac{a}{b}$, $x_2 = \frac{b}{c}$, $x_3 = \frac{c}{a}$. Тогда:

1. Найдем их произведение: $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = 1$.
2. Подставим в формулу Коши: $$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{1}$$ $$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge 1$$
3. Умножим обе части на 3: $$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$$

Равенство достигается при $a = b = c$. Доказано.

2) Доказать: $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)$

Раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в левую часть:

$$2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac \ge 0$$

Разложим $2a^2$ на $a^2 + a^2$ и сгруппируем слагаемые:

$$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) \ge 0$$

Заметим в каждой скобке формулу квадрата разности:

$$(a - b)^2 + (a - c)^2 \ge 0$$

Так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен ($(a-b)^2 \ge 0$ и $(a-c)^2 \ge 0$), то и их сумма также будет больше или равна нулю при любых значениях $a, b, c$. Доказано.