Номер 937, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 937, страница 335.

Условие.

937. 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0;$

2) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Докажем неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$ для $a > 0, b > 0, c > 0$.

Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трех положительных чисел. Для любых неотрицательных чисел $x_1, x_2, x_3$ справедливо неравенство:

$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \ge \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$

В нашем случае в качестве $x_1, x_2, x_3$ возьмем числа $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{c}{a}$. Поскольку по условию $a, b, c$ положительны, эти дроби также будут положительными. Применим к ним неравенство Коши:

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}$

Найдем значение выражения под корнем (среднее геометрическое):

$\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = \sqrt[3]{\frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot a}} = \sqrt[3]{1} = 1$

Таким образом, наше неравенство принимает вид:

$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge 1$

Умножим обе части неравенства на 3:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$

Что и требовалось доказать. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{