Номер 937, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 937, страница 335.
№937 (с. 335)
Условие. №937 (с. 335)
скриншот условия

937. 1) $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$, если $a > 0$, $b > 0$, $c > 0;$
2) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c).$
Решение 1. №937 (с. 335)


Решение 2. №937 (с. 335)

Решение 3. №937 (с. 335)
1) Докажем неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$ для $a > 0, b > 0, c > 0$.
Воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трех положительных чисел. Для любых неотрицательных чисел $x_1, x_2, x_3$ справедливо неравенство:
$\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \ge \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$
В нашем случае в качестве $x_1, x_2, x_3$ возьмем числа $\frac{a}{b}$, $\frac{b}{c}$ и $\frac{c}{a}$. Поскольку по условию $a, b, c$ положительны, эти дроби также будут положительными. Применим к ним неравенство Коши:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}}$
Найдем значение выражения под корнем (среднее геометрическое):
$\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = \sqrt[3]{\frac{a \cdot b \cdot c}{b \cdot c \cdot a}} = \sqrt[3]{1} = 1$
Таким образом, наше неравенство принимает вид:
$\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \ge 1$
Умножим обе части неравенства на 3:
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge 3$
Что и требовалось доказать. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 937 расположенного на странице 335 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №937 (с. 335), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.