Номер 936, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 936, страница 335.
№936 (с. 335)
Условие. №936 (с. 335)
скриншот условия

936. 1) $(a + b)(ab + 1) \ge 4ab$, если $a > 0, b > 0$;
2) $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \ne b$.
Решение 1. №936 (с. 335)


Решение 2. №936 (с. 335)

Решение 3. №936 (с. 335)
1) $(a + b)(ab + 1) \ge 4ab$, если $a > 0, b > 0$;
Для доказательства данного неравенства преобразуем его. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на $ab$, не меняя знака неравенства:
$\frac{(a + b)(ab + 1)}{ab} \ge 4$
Преобразуем левую часть, разделив второй множитель на $ab$:
$(a + b) \left( \frac{ab}{ab} + \frac{1}{ab} \right) \ge 4$
$(a + b) \left( 1 + \frac{1}{ab} \right) \ge 4$
Раскроем скобки в левой части:
$a \cdot 1 + a \cdot \frac{1}{ab} + b \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{ab} \ge 4$
$a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} \ge 4$
Сгруппируем слагаемые:
$\left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(b + \frac{1}{b}\right) \ge 4$
Теперь воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.
Так как $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \ge 2$.
Так как $b > 0$, то $b + \frac{1}{b} \ge 2$.
Сложив эти два неравенства, получаем:
$\left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(b + \frac{1}{b}\right) \ge 2 + 2 = 4$
Это доказывает справедливость исходного неравенства. Равенство достигается при $a = 1/a$ и $b = 1/b$, то есть при $a=1$ и $b=1$.
Ответ: Неравенство доказано.
2) $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \ne b$.
Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:
$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 - 4ab(a^2 + b^2) > 0$
Раскроем скобки в вычитаемом:
$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 - 4a^3b - 4ab^3 > 0$
Преобразуем левую часть, чтобы выделить полный квадрат. Для этого сгруппируем члены. Заметим, что $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$. Подставим это в неравенство:
$(a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 + 6a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2) > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2+b^2)^2 + 4a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2) > 0$
Полученное выражение является полным квадратом разности. Переставим члены для наглядности:
$(a^2+b^2)^2 - 2 \cdot (a^2+b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2 > 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a^2+b^2$ и $y = 2ab$:
$((a^2+b^2) - 2ab)^2 > 0$
Упростим выражение в скобках. Оно также является полным квадратом:
$(a^2 - 2ab + b^2)^2 > 0$
$((a-b)^2)^2 > 0$
$(a-b)^4 > 0$
По условию задачи $a \ne b$, следовательно, разность $a-b$ не равна нулю. Любое ненулевое действительное число, возведенное в четвертую (четную) степень, является строго положительным числом. Таким образом, неравенство $(a-b)^4 > 0$ всегда истинно при $a \ne b$.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 936 расположенного на странице 335 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №936 (с. 335), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.