Номер 936, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 936, страница 335.

Условие.

936. 1) $(a + b)(ab + 1) \ge 4ab$, если $a > 0, b > 0$;

2) $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \ne b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(a + b)(ab + 1) \ge 4ab$, если $a > 0, b > 0$;

Для доказательства данного неравенства преобразуем его. Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, их произведение $ab$ также положительно. Мы можем разделить обе части неравенства на $ab$, не меняя знака неравенства:

$\frac{(a + b)(ab + 1)}{ab} \ge 4$

Преобразуем левую часть, разделив второй множитель на $ab$:

$(a + b) \left( \frac{ab}{ab} + \frac{1}{ab} \right) \ge 4$

$(a + b) \left( 1 + \frac{1}{ab} \right) \ge 4$

Раскроем скобки в левой части:

$a \cdot 1 + a \cdot \frac{1}{ab} + b \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{ab} \ge 4$

$a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} \ge 4$

Сгруппируем слагаемые:

$\left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(b + \frac{1}{b}\right) \ge 4$

Теперь воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любого положительного числа $x$ справедливо неравенство $x + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$.

Так как $a > 0$, то $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Так как $b > 0$, то $b + \frac{1}{b} \ge 2$.

Сложив эти два неравенства, получаем:

$\left(a + \frac{1}{a}\right) + \left(b + \frac{1}{b}\right) \ge 2 + 2 = 4$

Это доказывает справедливость исходного неравенства. Равенство достигается при $a = 1/a$ и $b = 1/b$, то есть при $a=1$ и $b=1$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $a^4 + 6a^2b^2 + b^4 > 4ab(a^2 + b^2)$, если $a \ne b$.

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 - 4ab(a^2 + b^2) > 0$

Раскроем скобки в вычитаемом:

$a^4 + 6a^2b^2 + b^4 - 4a^3b - 4ab^3 > 0$

Преобразуем левую часть, чтобы выделить полный квадрат. Для этого сгруппируем члены. Заметим, что $a^4 + b^4 = (a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2$. Подставим это в неравенство:

$(a^2+b^2)^2 - 2a^2b^2 + 6a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2) > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2+b^2)^2 + 4a^2b^2 - 4ab(a^2+b^2) > 0$

Полученное выражение является полным квадратом разности. Переставим члены для наглядности:

$(a^2+b^2)^2 - 2 \cdot (a^2+b^2) \cdot (2ab) + (2ab)^2 > 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, где $x = a^2+b^2$ и $y = 2ab$:

$((a^2+b^2) - 2ab)^2 > 0$

Упростим выражение в скобках. Оно также является полным квадратом:

$(a^2 - 2ab + b^2)^2 > 0$

$((a-b)^2)^2 > 0$

$(a-b)^4 > 0$

По условию задачи $a \ne b$, следовательно, разность $a-b$ не равна нулю. Любое ненулевое действительное число, возведенное в четвертую (четную) степень, является строго положительным числом. Таким образом, неравенство $(a-b)^4 > 0$ всегда истинно при $a \ne b$.

Ответ: Неравенство доказано.