Номер 939, страница 335 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 939, страница 335.

Условие.

939. 1) $\begin{cases} \frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{2} = 10, \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6, \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{2} = 10 \\ \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 10 \end{cases} $

Сначала упростим оба уравнения, избавившись от знаменателей. Для этого умножим каждое уравнение на общий знаменатель дробей, который равен 10.

Первое уравнение:

$10 \cdot (\frac{x-y}{5} - \frac{x+y}{2}) = 10 \cdot 10$

$2(x-y) - 5(x+y) = 100$

Раскроем скобки:

$2x - 2y - 5x - 5y = 100$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x - 7y = 100$

Второе уравнение:

$10 \cdot (\frac{x}{5} + \frac{y}{2}) = 10 \cdot 10$

$2x + 5y = 100$

Теперь мы имеем более простую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} -3x - 7y = 100 \\ 2x + 5y = 100 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.

$ \begin{cases} 2(-3x - 7y) = 2 \cdot 100 \\ 3(2x + 5y) = 3 \cdot 100 \end{cases} $

$ \begin{cases} -6x - 14y = 200 \\ 6x + 15y = 300 \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(-6x - 14y) + (6x + 15y) = 200 + 300$

$y = 500$

Подставим найденное значение $y=500$ во второе упрощенное уравнение ($2x + 5y = 100$), чтобы найти $x$.

$2x + 5(500) = 100$

$2x + 2500 = 100$

$2x = 100 - 2500$

$2x = -2400$

$x = -1200$

Ответ: $x = -1200, y = 500$.

2) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} + \frac{x-y}{3} = 6 \\ \frac{x+y}{4} - \frac{x-y}{3} = 0 \end{cases} $

Эта система удобна для решения методом введения новых переменных. Обозначим $a = x+y$ и $b = x-y$.

Тогда система перепишется в виде:

$ \begin{cases} \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = 6 \\ \frac{a}{4} - \frac{b}{3} = 0 \end{cases} $

Заметим, что слагаемые с переменной $b$ имеют противоположные знаки. Сложим два уравнения системы:

$(\frac{a}{2} + \frac{b}{3}) + (\frac{a}{4} - \frac{b}{3}) = 6 + 0$

$\frac{a}{2} + \frac{a}{4} = 6$

Приведем левую часть к общему знаменателю 4:

$\frac{2a}{4} + \frac{a}{4} = 6$

$\frac{3a}{4} = 6$

$3a = 24$

$a = 8$

Теперь подставим значение $a=8$ во второе уравнение системы ($\frac{a}{4} - \frac{b}{3} = 0$), чтобы найти $b$.

$\frac{8}{4} - \frac{b}{3} = 0$

$2 - \frac{b}{3} = 0$

$2 = \frac{b}{3}$

$b = 6$

Мы нашли значения $a$ и $b$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, решив систему:

$ \begin{cases} x+y = a \\ x-y = b \end{cases} \implies \begin{cases} x+y = 8 \\ x-y = 6 \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x+y) + (x-y) = 8 + 6$

$2x = 14$

$x = 7$

Подставим $x=7$ в уравнение $x+y = 8$:

$7 + y = 8$

$y = 1$

Ответ: $x = 7, y = 1$.