Номер 946, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 946, страница 336.

Условие.

946. 1) $\begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

2) $ \begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2\log_2 y = 3. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \log_4 x - \log_2 y = 0, \\ x^2 - 5y^2 + 4 = 0. \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_4 x - \log_2 y = 0$.
Приведем логарифмы к одному основанию 2, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$:
$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$.

Подставим это в первое уравнение:
$\frac{1}{2}\log_2 x - \log_2 y = 0$
$\frac{1}{2}\log_2 x = \log_2 y$
Используя свойство логарифма $n \log_b a = \log_b a^n$, получаем:
$\log_2 x^{1/2} = \log_2 y$
$\log_2 \sqrt{x} = \log_2 y$
Так как логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы:
$\sqrt{x} = y$.

Теперь подставим выражение $y = \sqrt{x}$ во второе уравнение системы $x^2 - 5y^2 + 4 = 0$:
$x^2 - 5(\sqrt{x})^2 + 4 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Оба значения $x$ удовлетворяют условию ОДЗ ($x > 0$). Найдем соответствующие значения $y$, используя соотношение $y = \sqrt{x}$:
Если $x_1 = 1$, то $y_1 = \sqrt{1} = 1$.
Если $x_2 = 4$, то $y_2 = \sqrt{4} = 2$.

Полученные значения $y_1=1$ и $y_2=2$ также удовлетворяют условию ОДЗ ($y > 0$).
Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; 1)$, $(4; 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^4 = 16, \\ \log_2 x + 2\log_2 y = 3. \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойства логарифмов:
$\log_2 x + \log_2 y^2 = 3$
$\log_2 (x y^2) = 3$.

По определению логарифма:
$x y^2 = 2^3$
$x y^2 = 8$.

Из этого уравнения выразим $x$:
$x = \frac{8}{y^2}$.
Заметим, что так как $y > 0$, то $y^2 > 0$, и следовательно $x = \frac{8}{y^2} > 0$, что соответствует ОДЗ.

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы $x^2 + y^4 = 16$:
$(\frac{8}{y^2})^2 + y^4 = 16$
$\frac{64}{y^4} + y^4 = 16$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = y^4$. Так как $y > 0$, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:
$\frac{64}{t} + t = 16$.

Домножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):
$64 + t^2 = 16t$
$t^2 - 16t + 64 = 0$.

Это полный квадрат:
$(t - 8)^2 = 0$
$t = 8$.

Это значение удовлетворяет условию $t > 0$. Вернемся к переменной $y$:
$y^4 = 8$
$y = \sqrt[4]{8}$ (мы берем только положительный корень, так как $y>0$).

Теперь найдем $x$ из выражения $x = \frac{8}{y^2}$:
$y^2 = (\sqrt[4]{8})^2 = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$x = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Получили единственное решение системы, которое удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{2}; \sqrt[4]{8})$.