Номер 947, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 947, страница 336.
№947 (с. 336)
Условие. №947 (с. 336)
скриншот условия

947. $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9, \\ \sqrt{y} - \sqrt{x} = 1. \end{cases}$
Решение 1. №947 (с. 336)

Решение 2. №947 (с. 336)

Решение 3. №947 (с. 336)
Решим данную систему уравнений:
$$\begin{cases}9^x \cdot 3^y = 9, \\\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1.\end{cases}$$Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Также из второго уравнения $\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$ и того факта, что $\sqrt{x} \ge 0$, следует, что $\sqrt{y} \ge 1$, а значит $y \ge 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 1$.
Преобразуем первое уравнение системы, приведя все степени к основанию 3:
$9^x \cdot 3^y = 9$
$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^2$
$3^{2x} \cdot 3^y = 3^2$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$3^{2x+y} = 3^2$
Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x + y = 2$
Теперь у нас есть новая, более простая система:
$$\begin{cases}2x + y = 2, \\\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1.\end{cases}$$Из второго уравнения выразим $\sqrt{y}$:
$\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$
Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы выразить $y$:
$y = (1 + \sqrt{x})^2$
$y = 1 + 2\sqrt{x} + x$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $2x + y = 2$:
$2x + (1 + 2\sqrt{x} + x) = 2$
$3x + 2\sqrt{x} + 1 = 2$
$3x + 2\sqrt{x} - 1 = 0$
Получили уравнение относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), имеем $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:
$3t^2 + 2t - 1 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$
$\sqrt{D} = 4$
Найдем корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Поскольку мы ввели ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается один корень $t_1 = \frac{1}{3}$.
Вернемся к переменной $x$:
$\sqrt{x} = t = \frac{1}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
Теперь найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $2x + y = 2$:
$2 \cdot (\frac{1}{9}) + y = 2$
$\frac{2}{9} + y = 2$
$y = 2 - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} - \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$
Получили решение $(x, y) = (\frac{1}{9}, \frac{16}{9})$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x = \frac{1}{9} \ge 0$ и $y = \frac{16}{9} \ge 1$. Условия выполнены.
Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений.
1. Проверка первого уравнения: $9^x \cdot 3^y = 9$
$9^{1/9} \cdot 3^{16/9} = (3^2)^{1/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9 + 16/9} = 3^{18/9} = 3^2 = 9$.
$9 = 9$. Верно.
2. Проверка второго уравнения: $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1$
$\sqrt{\frac{16}{9}} - \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
$1 = 1$. Верно.
Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, найденное решение является верным.
Ответ: $(\frac{1}{9}; \frac{16}{9})$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 947 расположенного на странице 336 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №947 (с. 336), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.