Номер 947, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 947, страница 336.

Условие.

947. $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 9, \\ \sqrt{y} - \sqrt{x} = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решим данную систему уравнений:

$$\begin{cases}9^x \cdot 3^y = 9, \\\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1.\end{cases}$$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Из второго уравнения следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Также из второго уравнения $\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$ и того факта, что $\sqrt{x} \ge 0$, следует, что $\sqrt{y} \ge 1$, а значит $y \ge 1$. Итак, ОДЗ: $x \ge 0, y \ge 1$.

Преобразуем первое уравнение системы, приведя все степени к основанию 3:

$9^x \cdot 3^y = 9$

$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^2$

$3^{2x} \cdot 3^y = 3^2$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$3^{2x+y} = 3^2$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x + y = 2$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

$$\begin{cases}2x + y = 2, \\\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1.\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $\sqrt{y}$:

$\sqrt{y} = 1 + \sqrt{x}$

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, чтобы выразить $y$:

$y = (1 + \sqrt{x})^2$

$y = 1 + 2\sqrt{x} + x$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение $2x + y = 2$:

$2x + (1 + 2\sqrt{x} + x) = 2$

$3x + 2\sqrt{x} + 1 = 2$

$3x + 2\sqrt{x} - 1 = 0$

Получили уравнение относительно $\sqrt{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x}$. Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), имеем $t \ge 0$. Уравнение принимает вид:

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$

$\sqrt{D} = 4$

Найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$

Поскольку мы ввели ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается один корень $t_1 = \frac{1}{3}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\sqrt{x} = t = \frac{1}{3}$

$x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $2x + y = 2$:

$2 \cdot (\frac{1}{9}) + y = 2$

$\frac{2}{9} + y = 2$

$y = 2 - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} - \frac{2}{9} = \frac{16}{9}$

Получили решение $(x, y) = (\frac{1}{9}, \frac{16}{9})$. Проверим, удовлетворяет ли оно ОДЗ: $x = \frac{1}{9} \ge 0$ и $y = \frac{16}{9} \ge 1$. Условия выполнены.

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему уравнений.

1. Проверка первого уравнения: $9^x \cdot 3^y = 9$

$9^{1/9} \cdot 3^{16/9} = (3^2)^{1/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9} \cdot 3^{16/9} = 3^{2/9 + 16/9} = 3^{18/9} = 3^2 = 9$.

$9 = 9$. Верно.

2. Проверка второго уравнения: $\sqrt{y} - \sqrt{x} = 1$

$\sqrt{\frac{16}{9}} - \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

$1 = 1$. Верно.

Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, найденное решение является верным.

Ответ: $(\frac{1}{9}; \frac{16}{9})$.