Номер 948, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 948, страница 336.

Условие.

948. 1) $\log_2(x^2y + 2xy^2) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4,$
$\log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0;$

2) $\log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3,$
$\log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2(x^2y + 2xy^2) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4 \\ \log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. $x^2y + 2xy^2 > 0 \implies xy(x+2y) > 0$

2. $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} > 0 \implies \frac{2y+x}{xy} > 0$

3. $\left|\frac{xy}{6}\right| > 0 \implies xy \neq 0$, то есть $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Из условий (1) и (2) следует, что выражения $xy$ и $x+2y$ должны иметь одинаковые знаки.

Начнем с упрощения второго уравнения системы:

$\log_5\left|\frac{xy}{6}\right| = 0$

По определению логарифма:

$\left|\frac{xy}{6}\right| = 5^0 = 1$

$\left|xy\right| = 6$, что равносильно $xy = 6$ или $xy = -6$.

Теперь упростим первое уравнение. Используем свойство логарифма $\log_{1/a} b = -\log_a b$:

$\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = -\log_2\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right)$

Тогда первое уравнение принимает вид:

$\log_2(x^2y + 2xy^2) + \log_2\left(\frac{2}{x} + \frac{1}{y}\right) = 4$

Преобразуем выражения в скобках:

$x^2y + 2xy^2 = xy(x+2y)$

$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2y+x}{xy}$

Подставим их обратно в уравнение:

$\log_2(xy(x+2y)) + \log_2\left(\frac{x+2y}{xy}\right) = 4$

Используя свойство $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$, получаем:

$\log_2\left(xy(x+2y) \cdot \frac{x+2y}{xy}\right) = 4$

$\log_2((x+2y)^2) = 4$

По определению логарифма:

$(x+2y)^2 = 2^4 = 16$, что равносильно $x+2y = 4$ или $x+2y = -4$.

Теперь рассмотрим два случая, исходя из ОДЗ (знаки $xy$ и $x+2y$ должны совпадать).

Случай 1: $xy = 6$ (положительно) и $x+2y = 4$ (положительно).

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ x+2y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x = 4-2y$ и подставим в первое:

$(4-2y)y = 6$

$4y - 2y^2 = 6$

$2y^2 - 4y + 6 = 0$

$y^2 - 2y + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Случай 2: $xy = -6$ (отрицательно) и $x+2y = -4$ (отрицательно).

$$ \begin{cases} xy = -6 \\ x+2y = -4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $x = -4-2y$ и подставим в первое:

$(-4-2y)y = -6$

$-4y - 2y^2 = -6$

$2y^2 + 4y - 6 = 0$

$y^2 + 2y - 3 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -4 - 2(1) = -6$. Получаем пару $(-6, 1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$. Получаем пару $(2, -3)$.

Обе пары удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $(-6, 1), (2, -3)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) - \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3 \\ \log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $x^2y + \frac{xy^2}{2} > 0 \implies \frac{xy(2x+y)}{2} > 0$

2. $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} > 0 \implies \frac{y+2x}{xy} > 0$

3. $\left|\frac{xy}{6}\right| > 0 \implies xy \neq 0$.

Из условий (1) и (2) следует, что выражения $xy$ и $2x+y$ должны иметь одинаковые знаки.

Начнем с упрощения второго уравнения системы:

$\log_{\frac{1}{5}}\left|\frac{xy}{6}\right| = 0$

По определению логарифма:

$\left|\frac{xy}{6}\right| = \left(\frac{1}{5}\right)^0 = 1$

$\left|xy\right| = 6$, что равносильно $xy = 6$ или $xy = -6$.

Теперь упростим первое уравнение. Используем свойство $\log_{1/a} b = -\log_a b$:

$\log_2\left(x^2y + \frac{xy^2}{2}\right) + \log_2\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = 3$

Преобразуем выражения в скобках:

$x^2y + \frac{xy^2}{2} = \frac{2x^2y+xy^2}{2} = \frac{xy(2x+y)}{2}$

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{y+2x}{xy}$

Подставим их в уравнение:

$\log_2\left(\frac{xy(2x+y)}{2}\right) + \log_2\left(\frac{2x+y}{xy}\right) = 3$

Используя свойство суммы логарифмов:

$\log_2\left(\frac{xy(2x+y)}{2} \cdot \frac{2x+y}{xy}\right) = 3$

$\log_2\left(\frac{(2x+y)^2}{2}\right) = 3$

По определению логарифма:

$\frac{(2x+y)^2}{2} = 2^3 = 8$

$(2x+y)^2 = 16$, что равносильно $2x+y = 4$ или $2x+y = -4$.

Рассмотрим два случая, исходя из ОДЗ (знаки $xy$ и $2x+y$ должны совпадать).

Случай 1: $xy = 6$ (положительно) и $2x+y = 4$ (положительно).

$$ \begin{cases} xy = 6 \\ 2x+y = 4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = 4-2x$ и подставим в первое:

$x(4-2x) = 6$

$4x - 2x^2 = 6$

$2x^2 - 4x + 6 = 0$

$x^2 - 2x + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -8 < 0$. Действительных корней нет.

Случай 2: $xy = -6$ (отрицательно) и $2x+y = -4$ (отрицательно).

$$ \begin{cases} xy = -6 \\ 2x+y = -4 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = -4-2x$ и подставим в первое:

$x(-4-2x) = -6$

$-4x - 2x^2 = -6$

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = -4 - 2(1) = -6$. Получаем пару $(1, -6)$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$. Получаем пару $(-3, 2)$.

Обе пары удовлетворяют условиям ОДЗ.

Ответ: $(1, -6), (-3, 2)$.