Номер 955, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 955, страница 337.

Условие.

955.

1) $\begin{cases} \sin x + \cos y = 1, \\ \sin^2 x + 2\sin x \cos y = \frac{3}{4}; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2}, \\ \cos^2 x + 2\sin x \sin y + 4\cos^2 y = 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 1 \\ \sin^2 x + 2\sin x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Введем замену переменных: пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 1 \\ u^2 + 2uv = \frac{3}{4} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 1 - u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + 2u(1 - u) = \frac{3}{4}$

$u^2 + 2u - 2u^2 = \frac{3}{4}$

$-u^2 + 2u - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части на -4, чтобы избавиться от дроби и отрицательного старшего коэффициента:

$4u^2 - 8u + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $u$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения:

$u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm 4}{8}$

$u_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

$u_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $u = \frac{3}{2}$.

Тогда $\sin x = \frac{3}{2}$. Так как область значений функции синус $[-1, 1]$, а $\frac{3}{2} > 1$, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: $u = \frac{1}{2}$.

Тогда $\sin x = \frac{1}{2}$. Найдем соответствующее значение $v$: $v = 1 - u = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Итак, мы получили систему простейших тригонометрических уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Решаем каждое уравнение:

Из $\sin x = \frac{1}{2}$ следует, что $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из $\cos y = \frac{1}{2}$ следует, что $y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \sin y = \frac{1}{2} \\ \cos^2 x + 2\sin x \sin y + 4\cos^2 y = 4 \end{cases} $$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$ для преобразования второго уравнения:

$(1 - \sin^2 x) + 2\sin x \sin y + 4(1 - \sin^2 y) = 4$

$1 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y + 4 - 4\sin^2 y = 4$

$5 - \sin^2 x + 2\sin x \sin y - 4\sin^2 y = 4$

$\sin^2 x - 2\sin x \sin y + 4\sin^2 y = 1$

Теперь введем замену переменных: пусть $a = \sin x$ и $b = \sin y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = \frac{1}{2} \\ a^2 - 2ab + 4b^2 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $a$: $a = \frac{1}{2} - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(\frac{1}{2} - b)^2 - 2(\frac{1}{2} - b)b + 4b^2 = 1$

$(\frac{1}{4} - b + b^2) - (b - 2b^2) + 4b^2 = 1$

$\frac{1}{4} - b + b^2 - b + 2b^2 + 4b^2 = 1$

$7b^2 - 2b + \frac{1}{4} - 1 = 0$

$7b^2 - 2b - \frac{3}{4} = 0$

Умножим обе части на 4:

$28b^2 - 8b - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $b$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 28 \cdot (-3) = 64 + 336 = 400$.

Корни уравнения:

$b_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 28} = \frac{8 \pm 20}{56}$

$b_1 = \frac{8 + 20}{56} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

$b_2 = \frac{8 - 20}{56} = \frac{-12}{56} = -\frac{3}{14}$

Найдем соответствующие значения $a = \frac{1}{2} - b$ для каждого корня.

Случай 1: $b = \frac{1}{2}$ (т.е. $\sin y = \frac{1}{2}$).
$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ (т.е. $\sin x = 0$).
Получаем первую пару решений для $(\sin x, \sin y)$: $(0, \frac{1}{2})$.
Решения для $x$ и $y$:
$\sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$\sin y = \frac{1}{2} \implies y = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Случай 2: $b = -\frac{3}{14}$ (т.е. $\sin y = -\frac{3}{14}$).
$a = \frac{1}{2} - (-\frac{3}{14}) = \frac{7}{14} + \frac{3}{14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ (т.е. $\sin x = \frac{5}{7}$).
Получаем вторую пару решений для $(\sin x, \sin y)$: $(\frac{5}{7}, -\frac{3}{14})$.
Решения для $x$ и $y$:
$\sin x = \frac{5}{7} \implies x = (-1)^m \arcsin\frac{5}{7} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$
$\sin y = -\frac{3}{14} \implies y = (-1)^p \arcsin(-\frac{3}{14}) = (-1)^{p+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi p, p \in \mathbb{Z}$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем полный ответ.

Ответ: $( \pi k, (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n )$ и $( (-1)^m \arcsin\frac{5}{7} + \pi m, (-1)^{p+1} \arcsin\frac{3}{14} + \pi p )$, где $k, n, m, p \in \mathbb{Z}$.