Номер 958, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 958, страница 337.

Условие.

958. Решить систему неравенств

$\begin{cases} \frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}, \\ \frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство:

$$ \frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4} < \frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2} $$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 5, 4, 3 и 2. НОК(5, 4, 3, 2) = 60.

$$ 60 \cdot \left(\frac{x+1}{5} - \frac{x+2}{4}\right) < 60 \cdot \left(\frac{x-3}{3} + \frac{x-4}{2}\right) $$

$$ \frac{60(x+1)}{5} - \frac{60(x+2)}{4} < \frac{60(x-3)}{3} + \frac{60(x-4)}{2} $$

$$ 12(x+1) - 15(x+2) < 20(x-3) + 30(x-4) $$

Раскроем скобки:

$$ 12x + 12 - 15x - 30 < 20x - 60 + 30x - 120 $$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$$ -3x - 18 < 50x - 180 $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$$ 180 - 18 < 50x + 3x $$

$$ 162 < 53x $$

Разделим обе части на 53:

$$ x > \frac{162}{53} $$

2. Решим второе неравенство:

$$ \frac{x-2}{3} > 1 + \frac{x-5}{15} $$

Умножим обе части неравенства на НОК(3, 15), которое равно 15:

$$ 15 \cdot \frac{x-2}{3} > 15 \cdot \left(1 + \frac{x-5}{15}\right) $$

$$ 5(x-2) > 15 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{x-5}{15} $$

$$ 5x - 10 > 15 + x - 5 $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ 5x - 10 > x + 10 $$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$$ 5x - x > 10 + 10 $$

$$ 4x > 20 $$

Разделим обе части на 4:

$$ x > 5 $$

3. Найдем решение системы.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x > \frac{162}{53}$ и $x > 5$.

Для того чтобы найти пересечение, сравним числа $\frac{162}{53}$ и $5$.

Представим $5$ в виде дроби со знаменателем 53: $5 = \frac{5 \cdot 53}{53} = \frac{265}{53}$.

Так как $162 < 265$, то $\frac{162}{53} < \frac{265}{53}$, следовательно, $\frac{162}{53} < 5$.

Система неравенств равносильна системе:

$$\begin{cases}x > \frac{162}{53} \\x > 5\end{cases}$$

Общим решением для этой системы является более сильное неравенство, то есть $x > 5$.

Ответ: $x \in (5, +\infty)$.