Номер 959, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 959, страница 338.

Условие.

959. 1) Найти все значения параметра a, при которых система

$ \begin{cases} log_y x + log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

имеет решение. Решить эту систему при найденных значениях a.

2) Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

имеет единственное решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями:

$x > 0, y > 0, x \neq 1, y \neq 1$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство логарифма $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$, сделаем замену $t = \log_y x$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq 1$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$

Возвращаемся к замене:

1. $\log_y x = \frac{1}{2} \implies x = y^{1/2} \implies y = x^2$.

2. $\log_y x = 2 \implies x = y^2$.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем с учетом ОДЗ:

Система A: $ \begin{cases} y = x^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $ и Система B: $ \begin{cases} x = y^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Рассмотрим Систему A. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:

$x + x^2 = a + a^2$

$x^2 + x - (a^2 + a) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ (можно по теореме Виета или через дискриминант):

$D_x = 1^2 - 4( -(a^2 + a) ) = 1 + 4a^2 + 4a = (2a + 1)^2$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(2a + 1)^2}}{2} = \frac{-1 \pm (2a + 1)}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = a$

$x_2 = \frac{-1 - 2a - 1}{2} = -a - 1$

Теперь для каждого корня найдем $y$ и проверим выполнение условий ОДЗ.

Для $x_1 = a$: $y_1 = x_1^2 = a^2$.

Проверка ОДЗ для $(a, a^2)$:

• $x > 0 \implies a > 0$
• $y > 0 \implies a^2 > 0 \implies a \neq 0$. Условие $a > 0$ это включает.
• $x \neq 1 \implies a \neq 1$
• $y \neq 1 \implies a^2 \neq 1 \implies a \neq 1$ (так как $a>0$).

Таким образом, решение $(a, a^2)$ существует при $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $x_2 = -a - 1$: $y_2 = x_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$.

Проверка ОДЗ для $(-a - 1, (a+1)^2)$:

• $x > 0 \implies -a - 1 > 0 \implies -a > 1 \implies a < -1$
• $y > 0 \implies (a+1)^2 > 0 \implies a \neq -1$. Условие $a < -1$ это включает.
• $x \neq 1 \implies -a - 1 \neq 1 \implies -a \neq 2 \implies a \neq -2$
• $y \neq 1 \implies (a+1)^2 \neq 1 \implies a+1 \neq \pm 1 \implies a \neq 0$ и $a \neq -2$. Условие $a < -1$ делает $a \neq 0$ избыточным.

Таким образом, решение $(-a-1, (a+1)^2)$ существует при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Рассмотрим Систему B. Подставим $x = y^2$ во второе уравнение:

$y^2 + y = a + a^2$

$y^2 + y - (a^2 + a) = 0$

Это точно такое же уравнение, как и для $x$ в Системе А. Следовательно, его решения:

$y_1 = a, y_2 = -a - 1$.

Для $y_1 = a$: $x_1 = y_1^2 = a^2$. Решение $(a^2, a)$. Условия на $a$ те же: $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $y_2 = -a - 1$: $x_2 = y_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$. Решение $((a+1)^2, -a-1)$. Условия на $a$ те же: $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Система имеет решение, если существует хотя бы одно из найденных решений. Объединяя условия на параметр $a$, получаем, что система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь выпишем решения системы для найденных значений $a$.

• При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решениями являются пары $(a, a^2)$ и $(a^2, a)$.
• При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решениями являются пары $(-a-1, (a+1)^2)$ и $((a+1)^2, -a-1)$.

Ответ: Система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.
При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решения: $(a, a^2)$, $(a^2, a)$.
При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решения: $(-a-1, (a+1)^2)$, $((a+1)^2, -a-1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

Требуется найти все положительные значения $a$, при которых система имеет единственное решение.

Интерпретируем уравнения геометрически.

Первое уравнение: $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$.

• При $x \geq 0$, уравнение принимает вид $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_1$ с центром $C_1(5, 4)$ и радиусом $r_1 = 2$. Так как ее самая левая точка $(3, 4)$ имеет $x=3>0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x \geq 0$.
• При $x < 0$, уравнение принимает вид $(-x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$, что эквивалентно $(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_2$ с центром $C_2(-5, 4)$ и радиусом $r_2 = 2$. Так как ее самая правая точка $(-3, 4)$ имеет $x=-3<0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x < 0$.

Таким образом, первое уравнение задает объединение двух непересекающихся окружностей $K_1$ и $K_2$.

Второе уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = a^2$ задает окружность $K_3$ с центром в точке $C_3(2, 0)$ и радиусом $R=a$ (по условию $a > 0$).

Система будет иметь единственное решение, если окружность $K_3$ будет иметь ровно одну общую точку с объединением окружностей $K_1 \cup K_2$. Это возможно, если $K_3$ касается одной из окружностей ($K_1$ или $K_2$) и не пересекает другую.

Найдем расстояния между центрами окружностей:

$d_1 = d(C_1, C_3) = \sqrt{(5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

$d_2 = d(C_2, C_3) = \sqrt{(-5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$.

Рассмотрим возможные случаи касания.

Случай 1: $K_3$ касается $K_1$.

Радиус $K_1$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_1=5$.

Внешнее касание: $d_1 = a + r \implies 5 = a + 2 \implies a = 3$.

Внутреннее касание: $d_1 = |a - r| \implies 5 = |a - 2| \implies a-2=5$ или $a-2=-5$. Получаем $a=7$ или $a=-3$. Так как $a>0$, подходит $a=7$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_2$ для этих значений $a$.

• При $a=3$: $R=3$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Сумма радиусов $a+r = 3+2=5$. Так как $d_2 > a+r$ ($\sqrt{65}>5$), окружности $K_3$ и $K_2$ не пересекаются. Таким образом, при $a=3$ есть одно касание с $K_1$ и ноль пересечений с $K_2$. Всего 1 решение. $a=3$ подходит.
• При $a=7$: $R=7$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Разность радиусов $|a-r|=|7-2|=5$. Сумма радиусов $a+r=7+2=9$. Так как $|a-r| < d_2 < a+r$ ($5 < \sqrt{65} < 9$), окружности $K_3$ и $K_2$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=7$ не подходит.

Случай 2: $K_3$ касается $K_2$.

Радиус $K_2$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_2=\sqrt{65}$.

Внешнее касание: $d_2 = a + r \implies \sqrt{65} = a + 2 \implies a = \sqrt{65} - 2$.

Внутреннее касание: $d_2 = |a - r| \implies \sqrt{65} = |a - 2| \implies a-2=\sqrt{65}$ или $a-2=-\sqrt{65}$. Получаем $a=\sqrt{65}+2$ или $a=2-\sqrt{65}$. Так как $a>0$, подходит $a=\sqrt{65}+2$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_1$ для этих значений $a$.

• При $a=\sqrt{65}-2$: $R=\sqrt{65}-2 \approx 6.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}-2-2|=|\sqrt{65}-4|=\sqrt{65}-4 \approx 4.06$. Сумма радиусов $a+r = \sqrt{65}-2+2=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $|a-r| < d_1 < a+r$ ($4.06 < 5 < 8.06$), окружности $K_3$ и $K_1$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=\sqrt{65}-2$ не подходит.
• При $a=\sqrt{65}+2$: $R=\sqrt{65}+2 \approx 10.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}+2-2|=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $d_1 < |a-r|$ ($5 < \sqrt{65}$), окружность $K_1$ находится целиком внутри окружности $K_3$ и не касается ее. Пересечений нет. Таким образом, при $a=\sqrt{65}+2$ есть одно касание с $K_2$ и ноль пересечений с $K_1$. Всего 1 решение. $a=\sqrt{65}+2$ подходит.

Итак, мы нашли два значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

Ответ: $a=3$, $a=\sqrt{65}+2$.