Номер 959, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 959, страница 338.

№959 (с. 338)
Условие. №959 (с. 338)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 959, Условие

959. 1) Найти все значения параметра a, при которых система

$ \begin{cases} log_y x + log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

имеет решение. Решить эту систему при найденных значениях a.

2) Найти все положительные значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4, \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

имеет единственное решение.

Решение 1. №959 (с. 338)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 959, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 959, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №959 (с. 338)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 959, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 959, Решение 2 (продолжение 2)
Решение 3. №959 (с. 338)

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) для первого уравнения определяется условиями:

$x > 0, y > 0, x \neq 1, y \neq 1$.

Преобразуем первое уравнение. Используя свойство логарифма $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$, сделаем замену $t = \log_y x$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

Умножим обе части на $2t$ (при $t \neq 0$, что выполняется, так как $x \neq 1$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$

$t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2$

Возвращаемся к замене:

1. $\log_y x = \frac{1}{2} \implies x = y^{1/2} \implies y = x^2$.

2. $\log_y x = 2 \implies x = y^2$.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем с учетом ОДЗ:

Система A: $ \begin{cases} y = x^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $ и Система B: $ \begin{cases} x = y^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases} $

Рассмотрим Систему A. Подставим $y = x^2$ во второе уравнение:

$x + x^2 = a + a^2$

$x^2 + x - (a^2 + a) = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$ (можно по теореме Виета или через дискриминант):

$D_x = 1^2 - 4( -(a^2 + a) ) = 1 + 4a^2 + 4a = (2a + 1)^2$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{(2a + 1)^2}}{2} = \frac{-1 \pm (2a + 1)}{2}$

$x_1 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = a$

$x_2 = \frac{-1 - 2a - 1}{2} = -a - 1$

Теперь для каждого корня найдем $y$ и проверим выполнение условий ОДЗ.

Для $x_1 = a$: $y_1 = x_1^2 = a^2$.

Проверка ОДЗ для $(a, a^2)$:

  • $x > 0 \implies a > 0$
  • $y > 0 \implies a^2 > 0 \implies a \neq 0$. Условие $a > 0$ это включает.
  • $x \neq 1 \implies a \neq 1$
  • $y \neq 1 \implies a^2 \neq 1 \implies a \neq 1$ (так как $a>0$).

Таким образом, решение $(a, a^2)$ существует при $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $x_2 = -a - 1$: $y_2 = x_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$.

Проверка ОДЗ для $(-a - 1, (a+1)^2)$:

  • $x > 0 \implies -a - 1 > 0 \implies -a > 1 \implies a < -1$
  • $y > 0 \implies (a+1)^2 > 0 \implies a \neq -1$. Условие $a < -1$ это включает.
  • $x \neq 1 \implies -a - 1 \neq 1 \implies -a \neq 2 \implies a \neq -2$
  • $y \neq 1 \implies (a+1)^2 \neq 1 \implies a+1 \neq \pm 1 \implies a \neq 0$ и $a \neq -2$. Условие $a < -1$ делает $a \neq 0$ избыточным.

Таким образом, решение $(-a-1, (a+1)^2)$ существует при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Рассмотрим Систему B. Подставим $x = y^2$ во второе уравнение:

$y^2 + y = a + a^2$

$y^2 + y - (a^2 + a) = 0$

Это точно такое же уравнение, как и для $x$ в Системе А. Следовательно, его решения:

$y_1 = a, y_2 = -a - 1$.

Для $y_1 = a$: $x_1 = y_1^2 = a^2$. Решение $(a^2, a)$. Условия на $a$ те же: $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Для $y_2 = -a - 1$: $x_2 = y_2^2 = (-a - 1)^2 = (a+1)^2$. Решение $((a+1)^2, -a-1)$. Условия на $a$ те же: $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$.

Система имеет решение, если существует хотя бы одно из найденных решений. Объединяя условия на параметр $a$, получаем, что система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь выпишем решения системы для найденных значений $a$.

  • При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решениями являются пары $(a, a^2)$ и $(a^2, a)$.
  • При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решениями являются пары $(-a-1, (a+1)^2)$ и $((a+1)^2, -a-1)$.

Ответ: Система имеет решение при $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.
При $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ решения: $(a, a^2)$, $(a^2, a)$.
При $a \in (-\infty, -2) \cup (-2, -1)$ решения: $(-a-1, (a+1)^2)$, $((a+1)^2, -a-1)$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4 \\ (x - 2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases} $

Требуется найти все положительные значения $a$, при которых система имеет единственное решение.

Интерпретируем уравнения геометрически.

Первое уравнение: $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$.

  • При $x \geq 0$, уравнение принимает вид $(x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_1$ с центром $C_1(5, 4)$ и радиусом $r_1 = 2$. Так как ее самая левая точка $(3, 4)$ имеет $x=3>0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x \geq 0$.
  • При $x < 0$, уравнение принимает вид $(-x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$, что эквивалентно $(x + 5)^2 + (y - 4)^2 = 4$. Это окружность $K_2$ с центром $C_2(-5, 4)$ и радиусом $r_2 = 2$. Так как ее самая правая точка $(-3, 4)$ имеет $x=-3<0$, вся окружность лежит в полуплоскости $x < 0$.

Таким образом, первое уравнение задает объединение двух непересекающихся окружностей $K_1$ и $K_2$.

Второе уравнение $(x - 2)^2 + y^2 = a^2$ задает окружность $K_3$ с центром в точке $C_3(2, 0)$ и радиусом $R=a$ (по условию $a > 0$).

Система будет иметь единственное решение, если окружность $K_3$ будет иметь ровно одну общую точку с объединением окружностей $K_1 \cup K_2$. Это возможно, если $K_3$ касается одной из окружностей ($K_1$ или $K_2$) и не пересекает другую.

Найдем расстояния между центрами окружностей:

$d_1 = d(C_1, C_3) = \sqrt{(5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

$d_2 = d(C_2, C_3) = \sqrt{(-5-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{(-7)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$.

Рассмотрим возможные случаи касания.

Случай 1: $K_3$ касается $K_1$.

Радиус $K_1$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_1=5$.

Внешнее касание: $d_1 = a + r \implies 5 = a + 2 \implies a = 3$.

Внутреннее касание: $d_1 = |a - r| \implies 5 = |a - 2| \implies a-2=5$ или $a-2=-5$. Получаем $a=7$ или $a=-3$. Так как $a>0$, подходит $a=7$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_2$ для этих значений $a$.

  • При $a=3$: $R=3$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Сумма радиусов $a+r = 3+2=5$. Так как $d_2 > a+r$ ($\sqrt{65}>5$), окружности $K_3$ и $K_2$ не пересекаются. Таким образом, при $a=3$ есть одно касание с $K_1$ и ноль пересечений с $K_2$. Всего 1 решение. $a=3$ подходит.
  • При $a=7$: $R=7$. Расстояние до центра $K_2$ равно $d_2 = \sqrt{65}$. Разность радиусов $|a-r|=|7-2|=5$. Сумма радиусов $a+r=7+2=9$. Так как $|a-r| < d_2 < a+r$ ($5 < \sqrt{65} < 9$), окружности $K_3$ и $K_2$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=7$ не подходит.

Случай 2: $K_3$ касается $K_2$.

Радиус $K_2$ равен $r=2$. Радиус $K_3$ равен $a$. Расстояние между центрами $d_2=\sqrt{65}$.

Внешнее касание: $d_2 = a + r \implies \sqrt{65} = a + 2 \implies a = \sqrt{65} - 2$.

Внутреннее касание: $d_2 = |a - r| \implies \sqrt{65} = |a - 2| \implies a-2=\sqrt{65}$ или $a-2=-\sqrt{65}$. Получаем $a=\sqrt{65}+2$ или $a=2-\sqrt{65}$. Так как $a>0$, подходит $a=\sqrt{65}+2$.

Проверим, сколько точек пересечения имеет $K_3$ с $K_1$ для этих значений $a$.

  • При $a=\sqrt{65}-2$: $R=\sqrt{65}-2 \approx 6.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}-2-2|=|\sqrt{65}-4|=\sqrt{65}-4 \approx 4.06$. Сумма радиусов $a+r = \sqrt{65}-2+2=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $|a-r| < d_1 < a+r$ ($4.06 < 5 < 8.06$), окружности $K_3$ и $K_1$ пересекаются в двух точках. Всего $1+2=3$ решения. $a=\sqrt{65}-2$ не подходит.
  • При $a=\sqrt{65}+2$: $R=\sqrt{65}+2 \approx 10.06$. Расстояние до центра $K_1$ равно $d_1 = 5$. Разность радиусов $|a-r|=|\sqrt{65}+2-2|=\sqrt{65} \approx 8.06$. Так как $d_1 < |a-r|$ ($5 < \sqrt{65}$), окружность $K_1$ находится целиком внутри окружности $K_3$ и не касается ее. Пересечений нет. Таким образом, при $a=\sqrt{65}+2$ есть одно касание с $K_2$ и ноль пересечений с $K_1$. Всего 1 решение. $a=\sqrt{65}+2$ подходит.

Итак, мы нашли два значения параметра $a$, при которых система имеет единственное решение.

Ответ: $a=3$, $a=\sqrt{65}+2$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 959 расположенного на странице 338 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №959 (с. 338), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.