Номер 962, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 962, страница 338.

Условие.

962. $\begin{cases} 6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3, \\ 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная система уравнений является линейной относительно выражений $\sin x \cos y$ и $\cos x \sin y$. Введем замену переменных. Пусть $a = \sin x \cos y$ и $b = \cos x \sin y$. Исходная система:

$$\begin{cases}6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3 \\5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1\end{cases}$$

преобразуется в систему линейных уравнений:

$$\begin{cases}6a + 2b = -3 \\5a - 3b = 1\end{cases}$$

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, и сложим их:

$$\begin{array}{rcr}18a + 6b & = & -9 \\+\quad 10a - 6b & = & 2 \\\hline28a \phantom{+ 6b} & = & -7\end{array}$$

Отсюда $a = -\frac{7}{28} = -\frac{1}{4}$. Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $6a+2b=-3$:

$6(-\frac{1}{4}) + 2b = -3 \implies -\frac{3}{2} + 2b = -3 \implies 2b = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{3}{4}$.

Теперь выполним обратную замену:

$\sin x \cos y = a = -\frac{1}{4}$

$\cos x \sin y = b = -\frac{3}{4}$

Используя формулы синуса суммы и разности углов, $\sin(x\pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$, получаем:

$\sin(x+y) = a+b = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{4}) = -1$

$\sin(x-y) = a-b = -\frac{1}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{2}$

Это приводит к системе простейших тригонометрических уравнений:

$$\begin{cases}\sin(x+y) = -1 \\\sin(x-y) = \frac{1}{2}\end{cases}$$

Общие решения этих уравнений имеют вид:

$x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z}$

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$\begin{cases}x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\end{cases}$$

Складывая уравнения, находим $x$:
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k + (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$.

Вычитая второе уравнение из первого, находим $y$:
$2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k - \left((-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\right) \implies y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$.

Ответ:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$
$y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$
где $k, p \in \mathbb{Z}$.