Номер 962, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 962, страница 338.
№962 (с. 338)
Условие. №962 (с. 338)
скриншот условия

962. $\begin{cases} 6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3, \\ 5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1. \end{cases}$
Решение 1. №962 (с. 338)

Решение 2. №962 (с. 338)


Решение 3. №962 (с. 338)
Данная система уравнений является линейной относительно выражений $\sin x \cos y$ и $\cos x \sin y$. Введем замену переменных. Пусть $a = \sin x \cos y$ и $b = \cos x \sin y$. Исходная система:
$$\begin{cases}6\sin x \cos y + 2\cos x \sin y = -3 \\5\sin x \cos y - 3\cos x \sin y = 1\end{cases}$$
преобразуется в систему линейных уравнений:
$$\begin{cases}6a + 2b = -3 \\5a - 3b = 1\end{cases}$$
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, и сложим их:
$$\begin{array}{rcr}18a + 6b & = & -9 \\+\quad 10a - 6b & = & 2 \\\hline28a \phantom{+ 6b} & = & -7\end{array}$$
Отсюда $a = -\frac{7}{28} = -\frac{1}{4}$. Подставим найденное значение $a$ в первое уравнение $6a+2b=-3$:
$6(-\frac{1}{4}) + 2b = -3 \implies -\frac{3}{2} + 2b = -3 \implies 2b = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \implies b = -\frac{3}{4}$.
Теперь выполним обратную замену:
$\sin x \cos y = a = -\frac{1}{4}$
$\cos x \sin y = b = -\frac{3}{4}$
Используя формулы синуса суммы и разности углов, $\sin(x\pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$, получаем:
$\sin(x+y) = a+b = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{4}) = -1$
$\sin(x-y) = a-b = -\frac{1}{4} - (-\frac{3}{4}) = \frac{1}{2}$
Это приводит к системе простейших тригонометрических уравнений:
$$\begin{cases}\sin(x+y) = -1 \\\sin(x-y) = \frac{1}{2}\end{cases}$$
Общие решения этих уравнений имеют вид:
$x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
$x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z}$
Решим полученную систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$:
$$\begin{cases}x+y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \\x-y = (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\end{cases}$$
Складывая уравнения, находим $x$:
$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k + (-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$.
Вычитая второе уравнение из первого, находим $y$:
$2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k - \left((-1)^p \frac{\pi}{6} + \pi p\right) \implies y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$.
Ответ:
$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{(-1)^p \pi}{12} + \frac{\pi p}{2}$
$y = -\frac{\pi}{4} + \pi k - \frac{(-1)^p \pi}{12} - \frac{\pi p}{2}$
где $k, p \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 962 расположенного на странице 338 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №962 (с. 338), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.