Номер 964, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 964, страница 338.

№964 (с. 338)
Условие. №964 (с. 338)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Условие

964. Изобразить на плоскости фигуру, заданную множеством решений системы неравенств, и найти её площадь:

1) $\begin{cases} x + 3y - 3 \ge 0, \\ 2x + 3y - 12 \le 0, \\ x \ge 0, \\ 0 \le y \le 2; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y + 1 \le 0, \\ 5x - 3y + 15 \ge 0, \\ x \le 0, \\ 0 \le y \le 2,5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} (x + y - 1)(x + y - 3) \le 0, \\ x - y \le 0, \\ x \ge 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} (2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0, \\ x + y \ge 0, \\ -1 \le y \le 3. \end{cases}$

Решение 1. №964 (с. 338)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 1 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 1 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 1 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 1 (продолжение 4)
Решение 2. №964 (с. 338)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 2 Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 2 (продолжение 2) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 2 (продолжение 3) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 2 (продолжение 4) Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 338, номер 964, Решение 2 (продолжение 5)
Решение 3. №964 (с. 338)

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + 3y - 3 \ge 0 \\ 2x + 3y - 12 \le 0 \\ x \ge 0 \\ 0 \le y \le 2 \end{cases} $

Каждое неравенство задает полуплоскость. Фигура, являющаяся решением системы, есть пересечение этих полуплоскостей. Преобразуем первые два неравенства, чтобы выразить $y$:
1. $x + 3y - 3 \ge 0 \implies 3y \ge -x + 3 \implies y \ge -\frac{1}{3}x + 1$
2. $2x + 3y - 12 \le 0 \implies 3y \le -2x + 12 \implies y \le -\frac{2}{3}x + 4$

Таким образом, искомая фигура задается системой:
$ \begin{cases} y \ge -\frac{1}{3}x + 1 \\ y \le -\frac{2}{3}x + 4 \\ x \ge 0 \\ 0 \le y \le 2 \end{cases} $

Построим граничные линии:
$l_1: y = -\frac{1}{3}x + 1$ (проходит через точки (0, 1) и (3, 0))
$l_2: y = -\frac{2}{3}x + 4$ (проходит через точки (0, 4) и (6, 0))
$l_3: x = 0$ (ось OY)
$l_4: y = 0$ (ось OX)
$l_5: y = 2$

Фигура представляет собой многоугольник. Найдем его вершины, находя точки пересечения граничных линий, удовлетворяющие всем неравенствам.

  • Вершина A: пересечение $x=0$ и $y = -\frac{1}{3}x + 1$. Подставляя $x=0$, получаем $y=1$. Точка A(0, 1).
  • Вершина B: пересечение $x=0$ и $y=2$. Точка B(0, 2).
  • Вершина C: пересечение $y=2$ и $y = -\frac{2}{3}x + 4$. $2 = -\frac{2}{3}x + 4 \implies -2 = -\frac{2}{3}x \implies x=3$. Точка C(3, 2).
  • Вершина D: пересечение $y = -\frac{1}{3}x + 1$ с какой-либо из других границ. Проверим пересечение с $y=0$: $0 = -\frac{1}{3}x + 1 \implies x=3$. Точка D(3, 0). Проверим, удовлетворяет ли точка D(3,0) остальным неравенствам: $0 \le -\frac{2}{3}(3) + 4 \implies 0 \le 2$ (верно).

Таким образом, мы получили четыре вершины: A(0, 1), B(0, 2), C(3, 2), D(3, 0).

Соединив эти точки, мы видим, что фигура является прямоугольной трапецией. Основания трапеции параллельны оси OY и лежат на прямых $x=0$ и $x=3$. Длина первого основания (отрезок AB) равна $2-1=1$. Длина второго основания (отрезок DC) равна $2-0=2$. Высота трапеции равна расстоянию между прямыми $x=0$ и $x=3$, то есть $3-0=3$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2}h$, где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота.
$S = \frac{1+2}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: Фигура является прямоугольной трапецией с вершинами в точках (0, 1), (0, 2), (3, 2), (3, 0). Площадь фигуры равна 4,5.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x - y + 1 \le 0 \\ 5x - 3y + 15 \ge 0 \\ x \le 0 \\ 0 \le y \le 2.5 \end{cases} $

Преобразуем неравенства:
1. $x - y + 1 \le 0 \implies y \ge x + 1$
2. $5x - 3y + 15 \ge 0 \implies 3y \le 5x + 15 \implies y \le \frac{5}{3}x + 5$

Искомая фигура ограничена линиями:
$l_1: y = x + 1$
$l_2: y = \frac{5}{3}x + 5$
$l_3: x = 0$
$l_4: y = 0$
$l_5: y = 2.5$

Найдем вершины многоугольника, который является решением системы:

  • A: пересечение $x=0$ и $y=x+1$. $A(0, 1)$.
  • B: пересечение $x=0$ и $y=2.5$. $B(0, 2.5)$.
  • C: пересечение $y=2.5$ и $y=\frac{5}{3}x + 5$. $2.5 = \frac{5}{3}x + 5 \implies -2.5 = \frac{5}{3}x \implies x = -1.5$. $C(-1.5, 2.5)$.
  • D: пересечение $y=0$ и $y=\frac{5}{3}x + 5$. $0 = \frac{5}{3}x + 5 \implies x = -3$. $D(-3, 0)$.
  • E: пересечение $y=0$ и $y=x+1$. $0 = x+1 \implies x = -1$. $E(-1, 0)$.

Фигура является пятиугольником с вершинами A(0, 1), B(0, 2.5), C(-1.5, 2.5), D(-3, 0), E(-1, 0).

Для вычисления площади пятиугольника ABCDE представим её как разность площади фигуры, ограниченной сверху ломаной BCD и снизу осью OX, и площади фигуры, ограниченной сверху ломаной AE и снизу осью OX.
Площадь под ломаной BCD (трапеция с вершинами (-3,0), (-1.5,0), C, D) + (прямоугольник с вершинами (-1.5,0), (0,0), B, C)):
$S_{верх} = S_{CDH_xH'_x} + S_{CBH'_xH_x} = \frac{0+2.5}{2} \cdot |-3 - (-1.5)| + 2.5 \cdot |-1.5 - 0| = 1.25 \cdot 1.5 + 2.5 \cdot 1.5 = 1.875 + 3.75 = 5.625$, где $H_x, H'_x$ - проекции точек на ось OX.
Площадь под ломаной AE (треугольник с вершинами E, A, и (0,0)):
$S_{низ} = S_{AEH_x} = \frac{1+0}{2} \cdot |-1 - 0| = 0.5 \cdot 1 = 0.5$.
Площадь искомой фигуры:
$S = S_{верх} - S_{низ} = 5.625 - 0.5 = 5.125$

Ответ: Фигура является пятиугольником с вершинами (0, 1), (0, 2.5), (-1.5, 2.5), (-3, 0), (-1, 0). Площадь фигуры равна 5,125.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} (x + y - 1)(x + y - 3) \le 0 \\ x - y \le 0 \\ x \ge 0 \end{cases} $

1. Неравенство $(x + y - 1)(x + y - 3) \le 0$ равносильно тому, что множители имеют разные знаки. Это задает область между двумя параллельными прямыми $x+y-1=0$ и $x+y-3=0$.
$\begin{cases} x+y-1 \ge 0 \\ x+y-3 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x+y \ge 1 \\ x+y \le 3 \end{cases} \implies 1 \le x+y \le 3$.
Другой случай, $x+y-1 \le 0$ и $x+y-3 \ge 0$, невозможен, так как из $x+y \le 1$ следует, что $x+y$ не может быть больше или равно 3.

2. Неравенство $x - y \le 0$ равносильно $y \ge x$.
3. Неравенство $x \ge 0$ задает правую полуплоскость.

Итак, искомая область задается системой:
$ \begin{cases} y \le -x + 3 \\ y \ge -x + 1 \\ y \ge x \\ x \ge 0 \end{cases} $

Найдем вершины многоугольника, являющегося решением системы:

  • A: пересечение $y=x$ и $y=-x+1$. $x = -x+1 \implies 2x=1 \implies x=0.5$. $A(0.5, 0.5)$.
  • B: пересечение $y=x$ и $y=-x+3$. $x = -x+3 \implies 2x=3 \implies x=1.5$. $B(1.5, 1.5)$.
  • C: пересечение $x=0$ и $y=-x+3$. $C(0, 3)$.
  • D: пересечение $x=0$ и $y=-x+1$. $D(0, 1)$.

Фигура является четырехугольником с вершинами A(0.5, 0.5), B(1.5, 1.5), C(0, 3), D(0, 1).

Площадь этого четырехугольника можно найти как разность площадей двух треугольников с общей вершиной в начале координат O(0,0).
Площадь треугольника OBC: основание OC лежит на оси OY, его длина равна 3. Высота равна x-координате точки B, то есть 1.5.
$S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1.5 = 2.25$
Площадь треугольника OAD: основание OD лежит на оси OY, его длина равна 1. Высота равна x-координате точки A, то есть 0.5.
$S_{OAD} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.5 = 0.25$
Площадь четырехугольника ABCD равна разности этих площадей:
$S_{ABCD} = S_{OBC} - S_{OAD} = 2.25 - 0.25 = 2$

Ответ: Фигура является четырехугольником с вершинами (0.5, 0.5), (1.5, 1.5), (0, 3), (0, 1). Площадь фигуры равна 2.

4)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} (2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0 \\ x + y \ge 0 \\ -1 \le y \le 3 \end{cases} $

1. Неравенство $(2x - y + 3)(4x + 3y - 9) \le 0$ задает область между двумя прямыми $l_1: 2x - y + 3 = 0$ и $l_2: 4x + 3y - 9 = 0$.
$l_1: y = 2x + 3$
$l_2: y = -\frac{4}{3}x + 3$
Эти прямые пересекаются в точке, где $2x+3 = -\frac{4}{3}x+3 \implies \frac{10}{3}x=0 \implies x=0$. Тогда $y=3$. Точка пересечения (0, 3).

2. $x + y \ge 0 \implies y \ge -x$. Область выше прямой $l_3: y=-x$.
3. $-1 \le y \le 3$. Область между горизонтальными прямыми $y=-1$ и $y=3$.

Искомая фигура — это многоугольник. Найдем его вершины:

  • A: пересечение $l_1$, $l_2$ и $y=3$. $A(0, 3)$.
  • B: пересечение $l_1: y=2x+3$ и $l_3: y=-x$. $-x = 2x+3 \implies 3x=-3 \implies x=-1$. $y=1$. Точка B(-1, 1). Эта точка удовлетворяет $-1 \le 1 \le 3$.
  • C: пересечение $l_3: y=-x$ и $y=-1$. $-1 = -x \implies x=1$. Точка C(1, -1). Проверим для C(1,-1) первое неравенство: $(2(1)-(-1)+3)(4(1)+3(-1)-9) = (6)(-8) = -48 \le 0$. Верно.
  • D: пересечение $l_2: y=-\frac{4}{3}x+3$ и $y=-1$. $-1 = -\frac{4}{3}x+3 \implies -4 = -\frac{4}{3}x \implies x=3$. Точка D(3, -1). Эта точка удовлетворяет $y \ge -x$ (т.к. $-1 \ge -3$).

Таким образом, искомая фигура — четырехугольник с вершинами A(0, 3), B(-1, 1), C(1, -1), D(3, -1).

Для вычисления площади разделим четырехугольник ABCD диагональю BD на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.
Площадь $\triangle BCD$:
Вершины B(-1, 1), C(1, -1), D(3, -1). Основание CD лежит на прямой $y=-1$. Его длина равна $3 - 1 = 2$. Высота треугольника, опущенная из вершины B на прямую $y=-1$, равна $|1 - (-1)| = 2$.
$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Площадь $\triangle ABD$:
Вершины A(0, 3), B(-1, 1), D(3, -1). Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин:
$S_{ABD} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_D) + x_B(y_D - y_A) + x_D(y_A - y_B)|$
$S_{ABD} = \frac{1}{2} |0(1 - (-1)) + (-1)(-1 - 3) + 3(3 - 1)| = \frac{1}{2} |0 + (-1)(-4) + 3(2)| = \frac{1}{2} |4 + 6| = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$.
Общая площадь четырехугольника:
$S = S_{ABD} + S_{BCD} = 5 + 2 = 7$.

Ответ: Фигура является четырехугольником с вершинами (0, 3), (-1, 1), (1, -1), (3, -1). Площадь фигуры равна 7.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 964 расположенного на странице 338 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №964 (с. 338), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.