Номер 957, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 957, страница 337.

Условие.

957. Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы неравенств

$$\begin{cases} \frac{2x-3}{2} - \frac{3x+5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x+4}{2}, \\ 1 - \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x - \frac{x+2}{3}. \end{cases}$$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для нахождения наименьшего и наибольшего целых решений системы, сначала решим каждое неравенство отдельно и найдем общее решение системы.

Решение первого неравенства

$ \frac{2x-3}{2} - \frac{3x+5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x+4}{2} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3, 6), равное 6, чтобы избавиться от дробей:

$ 6 \cdot \left( \frac{2x-3}{2} \right) - 6 \cdot \left( \frac{3x+5}{3} \right) - 6 \cdot \left( \frac{x}{6} \right) < 6 \cdot 3 - 6 \cdot \left( \frac{x+4}{2} \right) $

$ 3(2x-3) - 2(3x+5) - x < 18 - 3(x+4) $

Раскроем скобки:

$ 6x - 9 - 6x - 10 - x < 18 - 3x - 12 $

Приведем подобные слагаемые в обеих частях неравенства:

$ -x - 19 < 6 - 3x $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ -x + 3x < 6 + 19 $

$ 2x < 25 $

$ x < \frac{25}{2} $ или $ x < 12.5 $

Решение второго неравенства

$ 1 - \frac{2x-8}{3} + \frac{4-3x}{2} < 2x - \frac{x+2}{3} $

Умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3), равное 6:

$ 6 \cdot 1 - 6 \cdot \left( \frac{2x-8}{3} \right) + 6 \cdot \left( \frac{4-3x}{2} \right) < 6 \cdot (2x) - 6 \cdot \left( \frac{x+2}{3} \right) $

$ 6 - 2(2x-8) + 3(4-3x) < 12x - 2(x+2) $

Раскроем скобки:

$ 6 - 4x + 16 + 12 - 9x < 12x - 2x - 4 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 34 - 13x < 10x - 4 $

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$ 34 + 4 < 10x + 13x $

$ 38 < 23x $

$ x > \frac{38}{23} $

Решение системы неравенств

Мы получили два условия для $x$, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} x > \frac{38}{23} \\ x < 12.5 \end{cases} $

Таким образом, решение системы — это интервал $ (\frac{38}{23}; 12.5) $.

Поскольку $ \frac{38}{23} = 1\frac{15}{23} \approx 1.65 $, интервал решений можно представить как $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $.

Теперь, имея решение системы, найдем требуемые целые решения.

Наименьшее целое решение

Нам нужно найти наименьшее целое число, которое принадлежит интервалу $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $. Первое целое число, которое больше $1\frac{15}{23}$, это 2.

Ответ: 2.

Наибольшее целое решение

Нам нужно найти наибольшее целое число, которое принадлежит интервалу $ (1\frac{15}{23}; 12.5) $. Последнее целое число, которое меньше 12.5, это 12.

Ответ: 12.