Номер 960, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа. Параграф 7. Упражнения - номер 960, страница 338.

Условие.

960. Для всех значений параметра a решить систему уравнений

$\begin{cases} a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Рассмотрим второе уравнение системы:

$$x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0$$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты для переменных $y$ и $a$:

$$(x^2) + (y^2 - 2y + 1) + (a^2 - 6a + 9) - 1 - 9 + 11 - \cos(xy) = 0$$

Перепишем уравнение в виде:

$$x^2 + (y - 1)^2 + (a - 3)^2 + 1 - \cos(xy) = 0$$

Проанализируем левую часть этого уравнения. Она представляет собой сумму четырех слагаемых:

• $x^2 \ge 0$
• $(y - 1)^2 \ge 0$
• $(a - 3)^2 \ge 0$
• $1 - \cos(xy) \ge 0$, так как значение косинуса любой величины не превышает 1, то есть $\cos(xy) \le 1$.

Сумма четырех неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из четырех условий:

$$\begin{cases}x^2 = 0 \\(y - 1)^2 = 0 \\(a - 3)^2 = 0 \\1 - \cos(xy) = 0\end{cases}$$

Из первых трех уравнений этой системы однозначно находим:

$x = 0$

$y = 1$

$a = 3$

Проверим, выполняется ли четвертое условие $\cos(xy) = 1$ при этих значениях $x$ и $y$:

$$\cos(0 \cdot 1) = \cos(0) = 1$$

Условие выполняется. Следовательно, второе уравнение исходной системы имеет решение только при $a=3$, и этим решением является пара чисел $(x, y) = (0, 1)$. Если $a \neq 3$, то $(a-3)^2 > 0$, и левая часть преобразованного второго уравнения будет строго положительной, то есть второе уравнение (а значит, и вся система) не будет иметь решений.

Теперь необходимо проверить, является ли пара $(x, y) = (0, 1)$ решением первого уравнения системы при $a=3$.

Первое уравнение системы:

$$a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0$$

Подставим в него значения $a=3$, $x=0$ и $y=1$:

$$3^2 - 2\sqrt{3}|3| \cdot 1 + 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 1^2 - 2 = 0$$$$9 - 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot 1 + 0 + 0 - 1 - 2 = 0$$$$9 - 6\sqrt{3} - 3 = 0$$$$6 - 6\sqrt{3} = 0$$

Полученное равенство $6(1 - \sqrt{3}) = 0$ является ложным, так как $1 - \sqrt{3} \neq 0$.

Таким образом, при $a=3$ единственная возможная пара $(x,y)=(0,1)$ не удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, при $a=3$ система не имеет решений.

Так как мы ранее установили, что при $a \neq 3$ система также не имеет решений, мы приходим к выводу, что данная система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.

Ответ:

При любых значениях параметра $a$ система не имеет решений (решений нет, или $x, y \in \emptyset$).