Номер 960, страница 338 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 7. Упражнения. Глава 8. Повторение курса алгебры и начал математического анализа - номер 960, страница 338.
№960 (с. 338)
Условие. №960 (с. 338)
скриншот условия

960. Для всех значений параметра a решить систему уравнений
$\begin{cases} a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0, \\ x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0. \end{cases}$
Решение 1. №960 (с. 338)

Решение 2. №960 (с. 338)

Решение 3. №960 (с. 338)
Рассмотрим второе уравнение системы:
$$x^2 + y^2 - 2y - \cos(xy) + 11 - 6a + a^2 = 0$$Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты для переменных $y$ и $a$:
$$(x^2) + (y^2 - 2y + 1) + (a^2 - 6a + 9) - 1 - 9 + 11 - \cos(xy) = 0$$Перепишем уравнение в виде:
$$x^2 + (y - 1)^2 + (a - 3)^2 + 1 - \cos(xy) = 0$$Проанализируем левую часть этого уравнения. Она представляет собой сумму четырех слагаемых:
- $x^2 \ge 0$
- $(y - 1)^2 \ge 0$
- $(a - 3)^2 \ge 0$
- $1 - \cos(xy) \ge 0$, так как значение косинуса любой величины не превышает 1, то есть $\cos(xy) \le 1$.
Сумма четырех неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Таким образом, мы получаем систему из четырех условий:
$$\begin{cases}x^2 = 0 \\(y - 1)^2 = 0 \\(a - 3)^2 = 0 \\1 - \cos(xy) = 0\end{cases}$$Из первых трех уравнений этой системы однозначно находим:
$x = 0$
$y = 1$
$a = 3$
Проверим, выполняется ли четвертое условие $\cos(xy) = 1$ при этих значениях $x$ и $y$:
$$\cos(0 \cdot 1) = \cos(0) = 1$$Условие выполняется. Следовательно, второе уравнение исходной системы имеет решение только при $a=3$, и этим решением является пара чисел $(x, y) = (0, 1)$. Если $a \neq 3$, то $(a-3)^2 > 0$, и левая часть преобразованного второго уравнения будет строго положительной, то есть второе уравнение (а значит, и вся система) не будет иметь решений.
Теперь необходимо проверить, является ли пара $(x, y) = (0, 1)$ решением первого уравнения системы при $a=3$.
Первое уравнение системы:
$$a^2 - 2\sqrt{3}|a|y + x^2 + 2xy - y^2 - 2 = 0$$Подставим в него значения $a=3$, $x=0$ и $y=1$:
$$3^2 - 2\sqrt{3}|3| \cdot 1 + 0^2 + 2 \cdot 0 \cdot 1 - 1^2 - 2 = 0$$$$9 - 2\sqrt{3} \cdot 3 \cdot 1 + 0 + 0 - 1 - 2 = 0$$$$9 - 6\sqrt{3} - 3 = 0$$$$6 - 6\sqrt{3} = 0$$Полученное равенство $6(1 - \sqrt{3}) = 0$ является ложным, так как $1 - \sqrt{3} \neq 0$.
Таким образом, при $a=3$ единственная возможная пара $(x,y)=(0,1)$ не удовлетворяет первому уравнению системы. Следовательно, при $a=3$ система не имеет решений.
Так как мы ранее установили, что при $a \neq 3$ система также не имеет решений, мы приходим к выводу, что данная система уравнений не имеет решений ни при каких значениях параметра $a$.
Ответ:
При любых значениях параметра $a$ система не имеет решений (решений нет, или $x, y \in \emptyset$).
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 960 расположенного на странице 338 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №960 (с. 338), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.